Criterio de Leibniz para series alternantes
Consideremos una serie alternante $$ \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k b_k \quad \text{o} \quad \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} b_k $$ donde $ {b_k} $ es una sucesión de números reales positivos ( $ b_k > 0 $ ).
Esta serie converge, es decir, tiene una suma finita, siempre que se cumplan simultáneamente dos condiciones fundamentales:
- Monotonía: la sucesión ${b_k} $ es finalmente no creciente. En otras palabras, a partir de cierto índice, cada término es menor o igual que el anterior: $$ b_{k+1} \le b_k $$
- Condición de límite: los términos de la sucesión tienden a cero: $$ \lim_{k \to \infty} b_k = 0 $$
El criterio de Leibniz es una herramienta esencial para analizar la convergencia de las series alternantes.
Se aplica a aquellas series en las que los términos cambian de signo de forma regular, es decir, positivo, negativo, positivo, y así sucesivamente.
Nota. Este criterio garantiza la convergencia, pero no la convergencia absoluta. En efecto, $$ \sum_{k=1}^{\infty} | (-1)^k b_k | = \sum_{k=1}^{\infty} b_k $$ puede ser divergente. Para estudiar la convergencia absoluta es necesario utilizar otros criterios, como el criterio de comparación o el criterio del cociente.
Primer ejemplo
Consideremos la serie:
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} $$
La sucesión asociada es:
$$ b_k = \frac{1}{k} $$
Sus términos son positivos $ b_k > 0 $ y la sucesión es decreciente, ya que:
$$ \frac{1}{k} \ge \frac{1}{k+1} $$
Además, tiende a cero cuando $ k \to \infty $:
$$ \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} = 0 $$
Como se cumplen ambas condiciones, la serie converge según el criterio de Leibniz.
Segundo ejemplo
Consideremos la serie:
$$ \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{k}} $$
En este caso, la sucesión asociada es:
$$ b_k = \frac{1}{\sqrt{k}} $$
De nuevo, los términos son positivos y la sucesión es decreciente:
$$ \frac{1}{\sqrt{k}} \ge \frac{1}{\sqrt{k+1}} $$
También tiende a cero:
$$ \lim_{k \to \infty} \frac{1}{\sqrt{k}} = 0 $$
Por tanto, la serie cumple las dos condiciones y converge.
Este mismo razonamiento puede aplicarse a muchas otras series alternantes con un comportamiento similar.
