Serie divergente

Una serie $s_n$ se dice divergente cuando la sucesión de sus sumas parciales crece sin cota superior a medida que $n$ tiende a infinito, es decir: $$ \lim_{n \rightarrow \infty} s_n = \infty $$

Un ejemplo concreto

Veamos un ejemplo sencillo para entender mejor la idea.

Consideremos la serie definida por:

$$ s_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{100} $$

Calculemos las primeras sumas parciales:

$$ s_1 = \frac{1}{100} = 0.01 \\ s_2 = \frac{1}{100} + \frac{2}{100} = 0.03 \\ s_3 = \frac{1}{100} + \frac{2}{100} + \frac{3}{100} = 0.06 \\ \vdots $$

A medida que $n$ aumenta, cada nueva suma añade un valor positivo, por lo que el resultado crece continuamente. No hay ningún valor límite al que la suma se aproxime.

En términos matemáticos:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{100} = \infty $$

Esto significa que la sucesión de sumas parciales no converge, sino que diverge. Por tanto, la serie es divergente.

Y así sucesivamente.