La serie de Mengoli

La serie de Mengoli está definida por la siguiente suma:

$$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} $$

El término general de la serie tiende a cero cuando n tiende a infinito.

Por tanto, se cumple la condición necesaria de convergencia de una serie. Aunque esta condición no garantiza por sí sola que la serie converja, sí nos indica que la convergencia es posible.

Para entender mejor el comportamiento de la serie, calculemos sus primeras sumas parciales.

k	ak	sn
1	$$ \frac{1}{2} $$	$$ \frac{1}{2} $$
2	$$ \frac{1}{6} $$	$$ \frac{2}{3} $$
3	$$ \frac{1}{12} $$	$$ \frac{3}{4} $$
4	$$ \frac{1}{20} $$	$$ \frac{4}{5} $$

La sucesión de sumas parciales es, por tanto,

$$ \frac{1}{2} , \frac{2}{3} , \frac{3}{4} , \frac{4}{5} , ... $$

Al observar estos resultados aparece enseguida un patrón. Todo indica que la suma parcial de orden n puede escribirse como

$$ s_n = \frac{n}{n+1} $$

Veamos ahora por qué esta expresión es válida para cualquier entero positivo n.

$$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1} $$

Para demostrarlo utilizaremos el principio de inducción matemática.

Comenzamos verificando el caso base P(1), correspondiente a k=1:

$$ P(1) : \: \sum_{k=1}^1 \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k+1} $$

$$ P(1) : \: \frac{1}{1(1+1)} = \frac{1}{1+1} $$

$$ P(1) : \: \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$

La igualdad se cumple.

Supongamos ahora que la proposición es verdadera para un entero positivo arbitrario n:

$$ P(n) : \: \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1} $$

Debemos demostrar que entonces también se cumple para n+1:

$$ P(n+1) : \: \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n+1}{n+2} $$

Partimos del miembro izquierdo:

$$ P(n+1) : \: \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)} $$

Separamos el último término de la suma:

$$ P(n+1) : \: [ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} ] + \frac{1}{(n+1)((n+1)+1)} $$

lo que equivale a

$$ P(n+1) : \: [ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} ] + \frac{1}{(n+1)(n+2)} $$

El primer término coincide exactamente con la proposición P(n).

$$ P(n+1) : \: P(n) + \frac{1}{(n+1)(n+2)} $$

Como suponemos verdadera la proposición P(n), sustituimos:

$$ P(n+1) : \: \frac{n}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} $$

Reducimos ahora ambas fracciones al mismo denominador:

$$ P(n+1) : \: \frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)} $$

$$ P(n+1) : \: \frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)} $$

$$ P(n+1) : \: \frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)} $$

Finalmente, simplificamos:

$$ P(n+1) : \: \frac{n+1}{n+2} $$

Hemos obtenido exactamente la expresión que queríamos demostrar.

Por tanto, por inducción matemática, se concluye que

$$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1} $$

para todo entero positivo n.

Ya podemos estudiar la convergencia de la serie calculando el límite de las sumas parciales.

$$ s = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n $$

$$ s = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} $$

Dado que

$$ s_n = \frac{n}{n+1} $$

tenemos

$$ s = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1} $$

Esta expresión presenta una forma indeterminada del tipo ∞/∞

$$ s= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1} = \frac{∞}{∞} $$

que puede resolverse mediante la regla de L'Hôpital.

$$ s= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{D[n]}{D[n+1]} $$

$$ s= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1} = 1 $$

El límite existe y es finito.

Por consiguiente, la serie de Mengoli es convergente y sus sumas parciales se aproximan al valor 1 cuando n→∞.

Y así sucesivamente.