Convergencia absoluta de series
Una serie es absolutamente convergente cuando la serie formada por los valores absolutos de sus términos an también converge. $$ \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = |a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n| = s $$
Este concepto es clave en el estudio de las series infinitas, porque permite entender de forma clara cuándo una serie presenta un comportamiento estable.
Toda serie absolutamente convergente es convergente.
$$ \sum_{n=1}^{\infty } |a_n| = \text{absolutamente convergente} \ \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty } a_n = \text{convergente} $$
Sin embargo, el recíproco no es cierto. Es posible que una serie converja sin ser absolutamente convergente.
¿Por qué es importante la convergencia absoluta? Si una serie Σak es absolutamente convergente, su convergencia queda garantizada en el sentido habitual. Por eso, este criterio resulta especialmente útil al trabajar con series alternantes o con series cuyos términos pueden ser tanto positivos como negativos.
Un ejemplo práctico
Consideremos la siguiente serie alternante
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} $$
Esta serie converge.
Su representación gráfica es la siguiente
Para comprobar si además es absolutamente convergente, analizamos la serie de sus valores absolutos.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^n}{n^2} \right| $$
Esta nueva serie también converge.
Por tanto, la serie inicial es absolutamente convergente.
Ejemplo 2
Consideremos ahora la serie armónica alternante
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} $$
Esta serie converge.
Su representación gráfica es la siguiente
Sin embargo, si tomamos el valor absoluto de sus términos, obtenemos
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n-1}}{n} \right| $$
Esta serie diverge.
Por lo tanto, aunque la serie original converge, no es absolutamente convergente.
Este ejemplo permite ver con claridad la diferencia entre convergencia simple y convergencia absoluta.
Criterio de convergencia absoluta
Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente.
El recíproco no es válido: una serie puede ser convergente sin ser absolutamente convergente.
Este criterio es especialmente útil al estudiar series alternantes.
Ejemplo
Consideremos la serie
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^2} $$
No es una serie de términos no negativos, ya que sin(n) toma valores en el intervalo [-1, 1].
Para entender su comportamiento, aplicamos el criterio de convergencia absoluta.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{\sin n}{n^2} \right| $$
Podemos compararla con la serie
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $$
Se cumple que
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{\sin n}{n^2} \right| \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $$
y como la serie Σ 1/n2 es convergente, también lo es la serie de valores absolutos.
En consecuencia, la serie dada es absolutamente convergente y, por tanto, convergente.
Demostración del criterio de convergencia absoluta
Consideremos la serie
$$ \sum_{k=1}^{\infty} |a_k| $$
Supongamos que converge.
Por el criterio de Cauchy, para todo ε>0 existe un índice v tal que, para todo n>v, se cumple
$$ \sum_{k=n+1}^{\infty} |a_k| < ε $$
Nota. Interpretación gráfica.
Esto significa que la cola de la serie puede hacerse tan pequeña como se desee.
En particular, para cualquier p>0 también se tiene
$$ \sum_{k=n+1}^{n+p} |a_k| < ε $$
Ahora comparamos el valor absoluto de una suma con la suma de los valores absolutos
$$ \left| \sum_{k=n+1}^{n+p} a_k \right| \le \sum_{k=n+1}^{n+p} |a_k| $$
según la desigualdad triangular.
Como el segundo miembro es menor que ε, se obtiene
$$ \left| \sum_{k=n+1}^{n+p} a_k \right| < ε $$
Esto demuestra que la serie Σ ak cumple el criterio de Cauchy y, por tanto, converge.
Demostración alternativa
Supongamos que la serie
$$ \sum_{k=1}^{\infty} |a_k| $$
converge. Entonces
$$ \sum_{k=1}^{\infty} (|a_k| + a_k) \le \sum_{k=1}^{\infty} 2 |a_k| $$
ya que 2|ak| es siempre mayor o igual que |ak| + ak.
Como la serie Σ |ak| converge, también converge la serie Σ 2|ak|.
Por el criterio de comparación, la serie Σ (|ak| + ak) converge.
Por tanto
$$ \sum_{k=1}^{\infty} a_k = \sum_{k=1}^{\infty} (|a_k| + a_k) - \sum_{k=1}^{\infty} |a_k| $$
y ambas series del segundo miembro son convergentes. En consecuencia, la serie Σ ak converge.
Con esto queda demostrado el resultado.
