Serie de potencias de la función exponencial

La función exponencial puede representarse mediante el siguiente desarrollo en serie de potencias: $$ \sum_{n = 0 }^{ \infty } \frac{x^n}{n!} $$ donde x es un número real.

Esta serie permite comprender cómo se construye la función exponencial a partir de una suma infinita de términos cada vez más pequeños.

Representación gráfica de la serie en el caso x>0.

Representación gráfica de la serie en el caso x<0.

En ambos casos, la serie converge cuando n tiende a infinito, lo que garantiza que la suma infinita define correctamente la función exponencial para cualquier valor real de x.

Nota. Si x=0, la serie se reduce a su primer término y su valor es 1. La expresión 0⁰ se considera, en general, una forma indeterminada en matemáticas, ya que puede dar lugar a interpretaciones contradictorias. $$ 0^0 = 1 = 0^{1-1} = \frac{0}{0} $$ donde 0/0 no está definido. Por este motivo, la regla n⁰=1 solo es válida cuando n es distinto de cero. En algunos entornos de cálculo, como calculadoras o programas informáticos, se adopta el valor 0⁰=1 por razones prácticas. Sin embargo, esta asignación debe interpretarse como una convención y no como una definición matemáticamente rigurosa.

Convergencia de la serie de potencias

La serie

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $$

converge para todo número real x.

Demostración

Para demostrarlo, aplico el criterio del cociente, una herramienta estándar para estudiar la convergencia de series.

Considero dos términos consecutivos de la sucesión \( a_n \) y analizo el límite de su cociente cuando n→∞:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} $$

En este caso, los términos de la serie son

$$ a_n = \frac{x^n}{n!} $$

$$ a_{n+1} = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} $$

Sustituyendo en el cociente, obtengo

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{x^n} $$

que se simplifica en

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x}{n+1} $$

Este límite es igual a cero para cualquier valor real de x:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x}{n+1} = 0 $$

Por tanto, según el criterio del cociente, la serie converge absolutamente para todo número real x.