Resto de una serie

El resto n-ésimo de una serie es la serie que se obtiene al eliminar los primeros n términos de la serie original. $$ R_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} a_k \:\:\:\:\:\: n \in \mathbb{N} $$

Un ejemplo práctico

Para entender mejor la idea, consideremos la serie

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} $$

Sus primeras sumas parciales son

$$ S_1 = \frac{1}{2} \\ S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \\ S_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} \\ S_4 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} \\ S_5 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} \\ \vdots $$

El resto R₃ es la parte de la serie que queda a partir de k=4.

$$ R_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} $$

$$ R_3 = \sum_{k=4}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} $$

Si escribimos sus primeros términos, obtenemos:

$$ b_1=0 \\ b_2=0 \\ b_3=0 \\ b_4 = \frac{1}{20} \\ b_5 = \frac{1}{20} + \frac{1}{30} \\ b_6 = \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} \\ \vdots $$

Es decir, los primeros n términos desaparecen y la serie continúa a partir del término siguiente.

Desde el punto de vista gráfico

Convergencia del resto

Si la serie $$ \sum_{k=1}^{\infty} a_k $$ es convergente, entonces su resto $$ R_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} a_k $$ también es convergente.

Demostración

Sea $$ \sum_{k=1}^{\infty} a_k $$ una serie convergente y definamos su resto n-ésimo como $$ R_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} b_k $$

Para todo m>n, los términos de ambas series coinciden:

$$ a_m = b_m \:\:\: \forall m>n $$

Explicación. La serie resto R_n tiene sus primeros n términos iguales a cero. A partir de k>n, coincide exactamente con la serie original. Por tanto, b_k=0 para k=1,\dots,n y b_k=a_k para k>n.

En consecuencia, para todo m>n, la diferencia entre los términos correspondientes es nula:

$$ b_m - a_m = 0 $$

Esto implica que, para m suficientemente grande, las sumas parciales de la serie diferencia dejan de cambiar:

$$ \sum_{k=1}^{m} (b_k - a_k) = \sum_{k=1}^{n} (b_k - a_k) $$

En otras palabras, la sucesión de sumas parciales de la serie $$ \sum (b_k - a_k) $$ se estabiliza a partir de m>n.

Explicación. Para k=1,\dots,n se cumple b_k=0, luego b_k-a_k=-a_k. Para k>n, como a_k=b_k, la diferencia es cero. Por tanto, añadir nuevos términos no modifica la suma parcial.

De aquí se deduce que la serie $$ \sum_{k=1}^{\infty} (b_k - a_k) $$ es convergente.

Por tanto, tenemos dos series convergentes:

$$ \sum_{k=1}^{\infty} a_k $$

$$ \sum_{k=1}^{\infty} (b_k - a_k) $$

La suma de ambas también converge y coincide con la serie formada al sumar término a término:

$$ \sum_{k=1}^{\infty} a_k + \sum_{k=1}^{\infty} (b_k - a_k) $$

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \big(a_k + b_k - a_k \big) $$

$$ \sum_{k=1}^{\infty} b_k $$

Esto prueba que el resto R_n es convergente.

Ejemplo

Volviendo al ejemplo inicial

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} $$

$$ R_3 = \sum_{k=4}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} $$

Ambas series son convergentes:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 $$

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=4}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 0.25 $$

Representación gráfica

Corolario

Si la serie $$ \sum_{k=1}^{\infty} a_k $$ es convergente, entonces $$ \lim_{n \rightarrow \infty} R_n = 0 $$ donde $$ R_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} a_k $$

Demostración

Sea $$ \sum_{k=1}^{\infty} a_k $$ una serie convergente y sea $$ R_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} b_k $$ su resto.

Para todo m>n, se cumple que a_k=b_k para k>n, y por tanto

$$ \sum_{k=1}^m (a_k - b_k) = \sum_{k=1}^n a_k $$

Explicación. Para k=1,\dots,n se tiene b_k=0, luego a_k-b_k=a_k. Para k>n, como a_k=b_k, la diferencia es cero. En consecuencia, las sumas parciales permanecen constantes a partir de n.

Tomando el límite cuando m→∞

$$ \sum_{k=1}^{\infty} (a_k - b_k) = \sum_{k=1}^n a_k $$

De donde se obtiene

$$ \sum_{k=1}^{\infty} a_k - \sum_{k=1}^{\infty} b_k = \sum_{k=1}^n a_k $$

Puesto que $$ \sum b_k = R_n $$

$$ \left( \sum_{k=1}^{\infty} a_k \right) - R_n = \sum_{k=1}^n a_k $$

Tomando ahora el límite cuando n→∞

$$ \sum_{k=1}^{\infty} a_k - \lim_{n \rightarrow \infty} R_n = \sum_{k=1}^{\infty} a_k $$

Por consiguiente

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} R_n = 0 $$

Queda así demostrado.

Ejemplo

Volviendo al ejemplo inicial

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} R_0 = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} = 1 $$

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} R_1 = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} = 0.5 $$

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} R_2 = \sum_{k=3}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} \approx 0.33 $$

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} R_3 = \sum_{k=4}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} = 0.25 $$

A medida que se eliminan más términos iniciales, el resto R_n se hace cada vez más pequeño y tiende a cero.

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} R_n = 0 $$

Representación gráfica

Y así sucesivamente.