Criterio de la integral para la convergencia de series
El criterio de la integral es una herramienta muy útil para decidir si una serie de términos positivos, o eventualmente positivos, converge o diverge. Resulta especialmente eficaz cuando el término general define una sucesión decreciente que tiende a cero.
Cómo se aplica
El primer paso consiste en comprobar que la serie tiene términos positivos, o al menos positivos a partir de cierto índice:
$$ \sum_{k=0}^{\infty} a_k $$
Nota. Se dice que una serie es eventualmente positiva si existe un índice k0 a partir del cual todos los términos son positivos para todo k ≥ k0. Los primeros términos pueden ser nulos o incluso negativos.
Después, hay que verificar dos condiciones clave sobre el término general:
- La sucesión {ak} es monótonamente decreciente.
- El límite del término general es cero.
$$ \lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0 $$
Si se cumplen estas condiciones, el criterio de la integral se puede aplicar con garantías.
El siguiente paso consiste en asociar la sucesión a una función continua f(x), positiva y decreciente para x ≥ k0:
$$ \{ a_k \} \rightarrow f(x) $$
A partir de esta función, se construye una sucesión auxiliar definida mediante una integral:
$$ \{ t_k \} = \int_{k_0}^k f(x) \, dx $$
Nota. El valor k0 coincide con el índice inicial de la serie. Por ejemplo, si la serie comienza en k = 1, entonces k0 = 1.
La idea central es sencilla pero muy potente: la serie original y la sucesión auxiliar {tk} tienen el mismo comportamiento.
- Si la sucesión {tk} diverge, la serie también diverge.
- Si la sucesión {tk} converge, la serie también converge.
Nota. Al tratarse de una serie de términos positivos, no hay oscilaciones. El resultado solo puede ser convergencia o divergencia.
Ejemplo
Consideremos la serie:
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}} $$
Se trata de una serie de términos positivos.
Nota. El término general tiende a cero, ya que $$ \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{k}} = 0 $$ Sin embargo, esto no basta por sí solo para asegurar la convergencia.
Además, la sucesión es decreciente:
$$ \left\{ \frac{1}{\sqrt{k}} \right\} \downarrow $$
Por tanto, se cumplen todas las condiciones necesarias para aplicar el criterio de la integral.
Definimos ahora la función asociada:
$$ \left\{ \frac{1}{\sqrt{k}} \right\} \rightarrow f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $$
Calculamos la integral correspondiente:
$$ \{ t_k \} = \int_1^k \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx $$
Reescribimos el integrando:
$$ \{ t_k \} = \int_1^k x^{-\frac{1}{2}} \, dx $$
Integramos paso a paso:
$$ \{ t_k \} = \int_1^k x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \left[ \frac{x^{1-\frac{1}{2}}}{1-\frac{1}{2}} \right]_1^k $$
$$ \{ t_k \} = \frac{k^{1-\frac{1}{2}}}{1-\frac{1}{2}} - \frac{1^{1-\frac{1}{2}}}{1-\frac{1}{2}} $$
$$ \{ t_k \} = \frac{k^{1-\frac{1}{2}} - 1^{1-\frac{1}{2}}}{1-\frac{1}{2}} $$
$$ \{ t_k \} = \frac{k^{\frac{2-1}{2}} - 1^{\frac{2-1}{2}}}{\frac{2-1}{2}} $$
$$ \{ t_k \} = \frac{k^{\frac{1}{2}} - 1^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} $$
$$ \{ t_k \} = \frac{\sqrt{k} - \sqrt{1}}{\frac{1}{2}} $$
$$ \{ t_k \} = 2 \cdot (\sqrt{k} - 1) $$
Esta es la sucesión auxiliar.
Ahora analizamos su comportamiento cuando k crece sin límite:
$$ \lim_{k \rightarrow \infty} 2 \cdot (\sqrt{k} - 1) = +\infty $$
La sucesión diverge. Por tanto, aplicando el criterio de la integral, la serie original también diverge:
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}} = +\infty $$
Desde un punto de vista gráfico, la tendencia divergente es clara:
Nota. Este resultado es coherente con la teoría de las series p. Cuando el exponente cumple 0 < p ≤ 1, la serie diverge.
Y así sucesivamente.
