Criterio de comparación directa de series numéricas
Sean an y bn dos sucesiones tales que $$ 0 \le a_n \le b_n \:\:\: \forall n $$ Si la serie de término general bn converge, entonces la serie de término general an también converge $$ \sum_{k=1}^{\infty} b_k < +\infty \Rightarrow \sum_{k=1}^{\infty} a_k < + \infty $$ Si la serie de término general an diverge, entonces la serie de término general bn también diverge $$ \sum_{k=1}^{\infty} a_k = +\infty \Rightarrow \sum_{k=1}^{\infty} b_k = + \infty $$
Este criterio se aplica a series de términos no negativos.
¿Para qué sirve?
El criterio de comparación directa permite decidir si una serie converge o diverge comparándola con otra cuyo comportamiento ya conocemos. La idea es simple, si una serie está acotada por otra más grande que converge, también converge. Si, en cambio, una serie más pequeña diverge, entonces la mayor también diverge.
Es uno de los criterios más utilizados en el estudio de las series numéricas, porque se basa en una intuición muy clara y fácil de aplicar.
¿Cómo se establece la desigualdad entre sucesiones? En la práctica, no es necesario que la desigualdad an≤bn se cumpla para todos los valores de n. Basta con que sea válida a partir de cierto índice suficientemente grande.
Un ejemplo práctico
Ejemplo 1
Consideremos las sucesiones
$$ a_n = \frac{n}{n+1} $$
$$ b_n = \frac{n+2}{n} $$
Para valores grandes de n se cumple la desigualdad
$$ a_n \le b_n $$
Ejemplo. Para n=100, se obtiene: $$ a_{100} = \frac{100}{101} $$ $$ b_{100} = \frac{102}{100} $$
Al sumar término a término, la desigualdad se conserva en las sumas parciales
$$ \sum_{k=1}^n a_k \le \sum_{k=1}^n b_k $$
Dado que se trata de series de términos no negativos, podemos aplicar el criterio de comparación directa.
Tomando límites cuando n tiende a infinito
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n a_k \le \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n b_k $$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{k+1} \le \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k+2}{k} $$
Observemos ahora que la serie de término general an diverge
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{k+1} = +∞$$
Nota. Esto se deduce de una condición necesaria de convergencia. En efecto, $$ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1} = 1 \ne 0 $$ Para que una serie converja, es necesario que su término general tienda a cero. Como no ocurre, la serie diverge. Además, al tener términos no negativos, la divergencia es hacia +∞.
Por comparación, la serie de término general bn también debe divergir
$$ +∞ \le \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k+2}{k} $$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k+2}{k} = +\infty $$
Por lo tanto, la serie de término general bn es divergente.
Ejemplo 2
Consideremos ahora las sucesiones
$$ a_n = \frac{1}{n^3+1} $$
$$ b_n = \frac{1}{n(n+1)} $$
Para n suficientemente grande se cumple
$$ a_n \le b_n $$
Ejemplo. Para n=100, se obtiene: $$ a_{100} = \frac{1}{100001} $$ $$ b_{100} = \frac{1}{10100} $$
La desigualdad se mantiene al considerar las sumas parciales
$$ \sum_{k=1}^n a_k \le \sum_{k=1}^n b_k $$
$$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3+1} \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} $$
Tomando límites
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3+1} \le \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} $$
La serie de término general bn es una serie telescópica, conocida como serie de Mengoli, cuyo valor es
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = 1 $$
Por lo tanto, al ser mayor o igual, la serie de término general an también converge
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3+1} \le 1 $$
Concluimos que la serie de término general an es convergente.
Nota. Como la serie de término general bn tiene términos no negativos y converge a 1, se cumple que $$ 0 \le \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3+1} \le 1 $$
Demostración y explicación
Sean an y bn dos sucesiones, y consideremos sus sumas parciales
$$ u_n = \sum_{k=1}^n a_k $$
$$ t_n = \sum_{k=1}^n b_k $$
Supongamos que se trata de series de términos no negativos, es decir
$$ 0 \le a_k \le b_k $$
En este caso, las sucesiones de sumas parciales son monótonas crecientes y, por tanto, tienen límite, que puede ser finito o infinito
$$ \lim_{n \rightarrow \infty } u_n \in \{ l , +\infty \} $$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty } t_n \in \{ l , +\infty \} $$
Además, de la desigualdad entre términos se obtiene
$$ u_n \le t_n \:\:\: \forall n $$
Al pasar al límite
$$ \lim_{n \rightarrow \infty } u_n \le \lim_{n \rightarrow \infty } t_n $$
Si la serie mayor converge, es decir, si
$$ \lim_{n \rightarrow \infty } t_n = l < + \infty $$
entonces también la serie menor converge
$$ \lim_{n \rightarrow \infty } u_n \le l $$
Por el contrario, si la serie menor diverge
$$ \lim_{n \rightarrow \infty } u_n = +\infty $$
entonces la serie mayor también diverge
$$ \lim_{n \rightarrow \infty } t_n = +\infty $$
De este modo queda justificado el criterio de comparación directa para series de términos no negativos.
