Integral de 1/tan2(x) dx
Veamos cómo calcular paso a paso la siguiente integral:
$$ \int \frac{1}{\tan^2(x)} \ dx $$
El procedimiento resulta más sencillo si primero reescribimos el integrando usando identidades trigonométricas bien conocidas.
De acuerdo con la segunda identidad fundamental de la trigonometría, la tangente se puede expresar como \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \).
A partir de esta relación, la expresión \( \frac{1}{\tan^2(x)} \) se transforma en:
$$ \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} $$
La integral queda entonces:
$$ \int \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \ dx $$
Para avanzar, simplificamos el numerador utilizando la identidad pitagórica, que establece que \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \).
Sustituyendo esta identidad en la integral, obtenemos:
$$ \int \frac{1 - \sin^2(x)}{\sin^2(x)} \, dx $$
Esta expresión puede separarse en dos integrales más simples:
$$ \int \frac{1}{\sin^2(x)} \, dx - \int \frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x)} \, dx $$
$$ \int \frac{1}{\sin^2(x)} \, dx - \int 1 \, dx $$
La primera integral es un resultado clásico del cálculo integral: \( \int \frac{1}{\sin^2(x)} \, dx = -\cot(x) \). La segunda es inmediata y da \( \int 1 \, dx = x \).
Combinando ambos resultados, llegamos a:
$$ -\cot(x) - x + C $$
donde \( C \) es la constante de integración. En conclusión, una primitiva de \( \frac{1}{\tan^2(x)} \) es:
$$ \int \frac{1}{\tan^2(x)} \ dx = -\cot(x) - x + C $$
Así queda resuelto el cálculo de la integral, siguiendo un procedimiento claro y apoyado en identidades trigonométricas fundamentales.
