Matriz Hessiana

La matriz hessiana es una matriz cuadrada que reúne todas las derivadas parciales de segundo orden de una función: $$ H = \begin{pmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\end{pmatrix} $$ En la diagonal principal aparecen las segundas derivadas puras -las tomadas dos veces respecto a $x$ o a $y$-. Los términos fuera de la diagonal corresponden a las derivadas parciales mixtas, calculadas primero respecto a una variable y luego respecto a la otra.

Esta matriz es una herramienta clave para estudiar la naturaleza de los puntos críticos en funciones de varias variables.

En particular, en funciones de dos variables como $f(x, y)$, permite decidir si un punto crítico corresponde a un mínimo local, un máximo local o un punto de silla.

Cómo aplicar la matriz hessiana al estudio de puntos críticos

El procedimiento para clasificar un punto crítico como máximo, mínimo o punto de silla es el siguiente:

1. Localizar los puntos críticos: resolver el sistema en el que las derivadas parciales de primer orden se anulan.
2. Construir la hessiana: calcular las segundas derivadas parciales y organizar la matriz.
3. Evaluar la hessiana en cada punto crítico sustituyendo las coordenadas obtenidas.
4. Calcular el determinante $\Delta$ de la hessiana: $$ \Delta = \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \right) - \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right)^2 $$
5. Según el valor del determinante se clasifica el punto crítico:
   • Si $\Delta > 0$ y $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0$, el punto es un mínimo local.
   • Si $\Delta > 0$ y $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} < 0$, se trata de un máximo local.
   • Si $\Delta < 0$, el punto es de silla.
   • Si $\Delta = 0$, la prueba hessiana no es concluyente y se requiere un análisis adicional.

Con unos sencillos cálculos algebraicos se puede determinar si la función alcanza un máximo, un mínimo o presenta un comportamiento más complejo en un punto crítico.

Ejemplo práctico

Consideremos la función:

$$ f(x, y) = xy $$

Las derivadas parciales de primer orden son:

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = y $$

$$ \frac{\partial f}{\partial y} = x $$

Ambas se anulan en el punto $(0,0)$, que queda identificado como un punto crítico en el que podría existir un extremo local.

Para clasificarlo acudimos a la matriz hessiana.

Las derivadas parciales de segundo orden son:

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 0 \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0 \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 1 $$

Así, la hessiana es:

$$ H = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Al no depender de variables, no es necesario sustituir coordenadas.

El determinante resulta ser:

$$ \Delta = 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1 $$

Como el determinante es negativo, el punto $(0,0)$ se clasifica como punto de silla.

Ejemplo 2

Ahora veamos la función:

$$ f(x,y) = x^4 - 2xy + y^4 $$

Las derivadas parciales de primer orden son:

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = 4x^3 - 2y \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 4y^3 - 2x $$

Para determinar los puntos críticos resolvemos el sistema:

$$ \begin{cases} 4x^3 - 2y = 0 \\ 4y^3 - 2x = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 2x^3 \\ 32x^9 - 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ o } x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} $$

Se obtienen tres puntos críticos:

• $(0,0)$
• $\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
• $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$

A continuación, calculamos las derivadas parciales de segundo orden:

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 12x^2 \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 12y^2 \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -2 $$

La hessiana adopta entonces la forma:

$$ H = \begin{pmatrix} 12x^2 & -2 \\ -2 & 12y^2 \end{pmatrix} $$

Evaluamos la hessiana en cada punto crítico:

• En (0,0):
  $$ H = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}, \quad \Delta = -4 < 0 $$ El determinante es negativo, por lo que este punto es de silla.
• En $\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$:
  $$ H = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}, \quad \Delta = 36 - 4 = 32 > 0 $$ Como el determinante y $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ son positivos, se trata de un mínimo local.
• En $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$:
  La hessiana es idéntica al caso anterior: $$ H = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -2 & 6 \end{pmatrix} $$ Por simetría, este punto también corresponde a un mínimo local.

En conclusión, la función presenta dos mínimos locales en $\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ y $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$, y un punto de silla en $(0,0)$.

 

Matriz Hessiana con Restricciones

Cuando una función está sujeta a una o varias restricciones, el método hessiano habitual para analizar puntos críticos deja de aplicarse de forma directa, a diferencia del caso libre de restricciones.

En tales circunstancias se recurre al método de los multiplicadores de Lagrange, que permite localizar los puntos críticos bajo restricción. Una vez hallados, su carácter se determina mediante la matriz hessiana ampliada.

Para ello se define la función Lagrangiana $ \mathcal{L} $ como:

$$ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y) $$

Aquí, $f(x,y)$ es la función objetivo y $g(x,y) = 0$ representa la restricción, es decir, la ecuación que delimita el dominio admisible.

Se calculan las derivadas parciales de la Lagrangiana y se igualan a cero:

$$ \begin{cases} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \text{sistema de Lagrange} $$

La resolución de este sistema proporciona los puntos críticos restringidos de la función.

Para clasificar cada uno de estos puntos como máximo o mínimo local, se construye la matriz hessiana ampliada, que incorpora tanto las segundas derivadas de la Lagrangiana como el gradiente de la restricción:

$$ H_L = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial x \partial y} & \frac{\partial g}{\partial x} \\ \frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial y^2} & \frac{\partial g}{\partial y} \\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} & 0 \end{pmatrix} $$

Esta hessiana ampliada refleja simultáneamente la curvatura de la función objetivo y la geometría impuesta por la restricción.

Se trata de la única formulación hessiana que permite una clasificación rigurosa de los puntos críticos restringidos.

Nota. En algunas fuentes se presenta la hessiana de la Lagrangiana: $$ H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial y^2} \end{pmatrix} $$ Sin embargo, esta matriz resulta insuficiente, ya que ignora las direcciones en las que el movimiento está limitado. Solo la hessiana ampliada ofrece un criterio completo y concluyente.

Una vez construida $H_L$, se evalúa en cada punto crítico, se calcula su determinante y se interpreta el signo:

• Si el determinante es positivo, el punto corresponde a un máximo local restringido.
• Si el determinante es negativo, corresponde a un mínimo local restringido.
• Si el determinante se anula, la prueba no es concluyente y se requiere un análisis adicional.

Ejemplo: la matriz hessiana con restricción

Analicemos la función:

$$ f(x, y) = 3x + 4y $$

sujeta a la restricción de que $(x, y)$ se encuentre sobre la circunferencia:

$$ x^2 + y^2 = 25 $$

Reformulamos la restricción en forma estándar: $ g(x,y) = 0 $

$$ g(x, y) = x^2 + y^2 - 25 = 0 $$

Construimos la Lagrangiana: $ L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda \cdot g(x, y) $

$$ L(x, y, \lambda) = 3x + 4y + \lambda(x^2 + y^2 - 25) $$

Calculamos las derivadas parciales respecto de $x$, $y$ y $\lambda$, e imponemos que sean nulas:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 3 + 2\lambda x = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 4 + 2\lambda y = 0 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} $$

Resolviendo las dos primeras ecuaciones:

$$ \lambda = -\frac{3}{2x} \qquad \lambda = -\frac{2}{y} $$

Igualando ambas expresiones de $\lambda$:

$$ \frac{3}{2x} = \frac{2}{y} \Rightarrow 3y = 4x \Rightarrow y = \frac{4}{3}x $$

Sustituyendo en la restricción:

$$ x^2 + \left( \frac{4}{3}x \right)^2 = 25 \Rightarrow x^2 + \frac{16}{9}x^2 = 25 \Rightarrow \frac{25}{9}x^2 = 25 $$

De donde se deduce:

$$ x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 $$

En consecuencia, $y = \pm 4$.

Los puntos críticos restringidos son:

• $ P_1 = (3, 4) $
• $ P_2 = (-3, -4) $

Evaluamos $f$ en dichos puntos:

• $f(3, 4) = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$
• $f(-3, -4) = -9 - 16 = -25$

De forma preliminar, concluimos que:

• $P_1 = (3, 4)$ es un máximo restringido
• $P_2 = (-3, -4)$ es un mínimo restringido

Construyamos ahora la hessiana ampliada:

$$ H_L = \begin{pmatrix} L_{xx} & L_{xy} & g_x \\ L_{yx} & L_{yy} & g_y \\ g_x & g_y & 0 \end{pmatrix} $$

Las derivadas necesarias son:

$$ L_{xx} = 2\lambda \qquad L_{yy} = 2\lambda \qquad L_{xy} = L_{yx} = 0 $$

$$ g_x = 2x \qquad g_y = 2y $$

Por tanto, la matriz adopta la forma:

$$ H_L = \begin{pmatrix} 2\lambda & 0 & 2x \\ 0 & 2\lambda & 2y \\ 2x & 2y & 0 \end{pmatrix} $$

• En $P_1 = (3, 4)$:
  Con $x = 3$, $y = 4$ y, según el sistema de Lagrange, $\lambda = -\tfrac{1}{2}$. Sustituyendo: $$ H_L = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 6 \\ 0 & -1 & 8 \\ 6 & 8 & 0 \end{pmatrix} $$ Calculamos el determinante: $$ \Delta = -1 \cdot (0 - 64) - 6 \cdot (0 - 6) = 64 - 36 = 28 > 0 $$ Así, $P_1$ queda confirmado como un máximo restringido.
• En $P_2 = (-3, -4)$:
  Aquí $x = -3$, $y = -4$ y $\lambda = \tfrac{1}{2}$. La matriz es: $$ H_L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & -8 \\ -6 & -8 & 0 \end{pmatrix} $$ El determinante resulta: $$ \Delta = 1 \cdot (0 - 64) - 6 \cdot (0 - 6) = -64 - 36 = -100 < 0 $$ Por lo tanto, $P_2$ se clasifica como un mínimo restringido.

Tanto la evaluación directa como el análisis con la hessiana ampliada conducen a la misma conclusión:

• El máximo restringido se alcanza en $P_1 = (3,4)$
• El mínimo restringido se alcanza en $P_2 = (-3,-4)$

La hessiana ampliada constituye un criterio sólido para determinar la naturaleza de los puntos críticos bajo restricción, especialmente cuando la función es no lineal y la simple evaluación de $f(x,y)$ resulta insuficiente.

Y así sucesivamente.