Continuidad en funciones de dos variables f(x,y)

Una función de dos o más variables $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ se dice continua en un punto $\vec{x}_0 \in \mathbb{R}^n$ si el límite de la función en $\vec{x}_0$ coincide exactamente con el valor que toma en ese punto: \[ \lim_{ \vec{x} \rightarrow \vec{x}_0 } f( \vec{x} ) = f( \vec{x}_0 ) \] donde $\vec{x}_0$ es un vector con $n$ componentes reales.

Por ejemplo, una función de dos variables $f(x, y)$ es continua en $(x_0, y_0)$ si el límite al que tiende $(x, y)$ cuando se aproxima a $(x_0, y_0)$ coincide con el valor de la función en dicho punto:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0) $$

Aquí, $(x_0, y_0)$ puede interpretarse como un par ordenado de números reales o, de manera más formal, como un vector bidimensional:

$$ \vec{x}_0 = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} $$

De igual modo, cualquier par genérico $(x, y)$ puede representarse como un vector de dos componentes:

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

Así, el límite puede escribirse en su forma vectorial:

$$ \lim_{\vec{x} \rightarrow \vec{x}_0} f( \vec{x} ) = f( \vec{x}_0) $$

Una formulación plenamente equivalente a la definición habitual en términos de pares escalares.

Nota. La definición vectorial del límite es análoga a la de funciones de una variable, con la única diferencia de que aquí la variable de entrada $ \vec{x} $ es un vector de dos componentes.

¿Por qué conviene la definición vectorial?

Porque se generaliza de forma inmediata a funciones de tres variables, como $f(x, y, z)$, y en general a funciones de $n$ variables $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$. La notación se vuelve más concisa y a la vez más expresiva en dimensiones superiores.

Ejemplo práctico

Consideremos el límite de la función $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definida por:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \sin y + \cos (xy) $$

Podemos evaluarlo separando en dos límites parciales:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \sin y + \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \cos (xy) $$

Al tender $(x,y)$ a $(0,0)$, observamos que $\sin y \to 0$, mientras que $\cos(xy) \to 1$.

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \sin y + \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \cos (xy) = 0 + 1 = 1 $$

Por lo tanto, el límite de la función $f(x,y)$ existe y es igual a 1:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \sin y + \cos (xy) = 1 $$

Si sustituimos directamente $x = 0, y = 0$ en la función, obtenemos el mismo resultado:

$$ f(0,0) = \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1 $$

Como el valor del límite y el de la función coinciden, concluimos que la función es continua en el punto $(0,0)$:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \sin y + \cos (xy) = f(0,0) = 1 $$

Desde un punto de vista geométrico, $f(x, y)$ define una superficie en el espacio tridimensional $(x, y, z)$, con $z = f(x, y)$.

superficie 3D que ilustra la continuidad de la función

La continuidad en $(x_0, y_0)$ se refleja en que la superficie es suave en el punto correspondiente $(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$, sin saltos, huecos ni aristas abruptas.

Y así sucesivamente.