Décomposition d’un espace vectoriel

La décomposition d’un espace vectoriel consiste à exprimer chacun de ses éléments comme la somme de deux vecteurs appartenant à deux sous-espaces vectoriels.

Soit V un espace vectoriel sur un corps K, et soient A et B deux sous-espaces de V. Si l’on a A + B = V, alors tout vecteur $v \in V$ peut s’écrire sous la forme

$$ v = a + b \quad \text{avec } a \in A,\; b \in B. $$

$$ \text{Si } A + B = V $$
$$ \text{alors } \forall v \in V,\;\exists\; a \in A,\; b \in B\;:\; a + b = v $$

Cette décomposition est unique lorsque les sous-espaces A et B sont complémentaires, c’est-à-dire :
$$ A \oplus B = V $$

Démonstration

Unicité de la décomposition

Raisonnons par l’absurde et supposons que la décomposition ne soit pas unique, bien que A et B soient des sous-espaces complémentaires.

Soit $v \in V$ un vecteur quelconque. Admettons qu’il existe deux décompositions différentes :

$$ v = a + b = a' + b' $$

avec $a, a' \in A$ et $b, b' \in B$.

En identifiant les deux écritures, on obtient :

$$ a + b = a' + b' $$

Ce qui conduit, en soustrayant les termes correspondants, à :

$$ (a - a') = (b' - b) $$

Or, le membre de gauche appartient à A tandis que celui de droite appartient à B. Ainsi :

$$ a - a' \in A \quad \text{et} \quad b' - b \in B $$

D’où $(a - a') \in A \cap B$.

Mais, puisque A et B sont complémentaires, leur intersection est réduite au vecteur nul :

$$ A \cap B = \{0\} $$

Il s’ensuit que :

$$ a - a' = 0 \quad \Rightarrow \quad a = a' $$

$$ b - b' = 0 \quad \Rightarrow \quad b = b' $$

On en conclut que les deux décompositions coïncident exactement : elles font intervenir les mêmes vecteurs.

Cela montre que, sous l’hypothèse $A \oplus B = V$, la décomposition est nécessairement unique.