Exercice 4: Sous-espace vectoriel

Soit $V = \mathbb{R}^2$, et considérons le sous-ensemble : $$ W = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \ge 0,\ y \ge 0 \} $$ Il s’agit de déterminer si $W$ constitue un sous-espace vectoriel de $V$.

Cet ensemble correspond au premier quadrant du plan cartésien, c’est-à-dire l’ensemble des points dont les coordonnées sont toutes deux non négatives.

Pour que $W$ soit un sous-espace, trois conditions doivent être remplies : contenir le vecteur nul, être stable par addition et être stable par multiplication par un scalaire.

1) Le vecteur nul

Vérification : le vecteur nul appartient-il à $W$ ?

$$ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \in W $$

La condition est satisfaite ; on ne peut donc pas encore exclure que $W$ soit un sous-espace.

Remarque. La présence du vecteur nul constitue toujours la première vérification à effectuer. S’il n’était pas inclus, $W$ ne pourrait en aucun cas être un espace vectoriel - ni donc un sous-espace - et l’analyse s’arrêterait immédiatement.

2) Stabilité par addition de vecteurs

Considérons deux vecteurs quelconques de $W$ :

$$ \vec{w}_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}, \quad \vec{w}_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}, \quad \text{avec } x_1, x_2 \ge 0 \text{ et } y_1, y_2 \ge 0 $$

Leur somme est :

$$ \vec{w}_1 + \vec{w}_2 = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} $$

Or la somme de deux réels non négatifs reste non négative :

$$ x_1 + x_2 \ge 0, \quad y_1 + y_2 \ge 0 $$

On en déduit que $\vec{w}_1 + \vec{w}_2 \in W$ : $W$ est donc stable par addition.

3) Stabilité par multiplication scalaire

Soit $\vec{w} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in W$ et $k \in \mathbb{R}$ un scalaire quelconque.

Alors :

$$ k \vec{w} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix} $$

Pour que $k \vec{w}$ appartienne à $W$, les deux composantes doivent rester non négatives :

$$ kx \ge 0, \quad ky \ge 0 $$

Cela n’est vérifié que si $k \ge 0$. Si $k < 0$ et $\vec{w} \ne \vec{0}$, au moins une coordonnée devient négative, de sorte que $k \vec{w} \notin W$.

Par conséquent, $W$ n’est pas stable par multiplication par des scalaires, ce qui contredit une condition essentielle pour être un sous-espace.

On conclut donc que $W$ n’est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.

L’exercice est ainsi achevé.