Exercice 2 : Sous-espace vectoriel 

Soit $V = \mathbb{R}^2$ un espace vectoriel réel de dimension deux, et considérons le sous-ensemble : $$ W = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x - 2y = 3 \} $$ Il s’agit de déterminer si $W$ est un sous-espace vectoriel de $V$.

Pour cela, il convient de vérifier si $W$ satisfait les axiomes d’un espace vectoriel et, en particulier, les conditions propres à la définition d’un sous-espace vectoriel.

Vérification du vecteur nul

La condition caractérisant les éléments de $W$ est :

$$ \vec{w} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in W \quad \Leftrightarrow \quad x - 2y = 3 $$

Examinons tout d’abord si le vecteur nul appartient à $W$.

En remplaçant $x = 0$ et $y = 0$ dans l’équation, on obtient :

$$ x - 2y = 3 \quad \Rightarrow \quad 0 - 0 = 0 \quad \neq \quad 3 $$

On constate donc que le vecteur nul $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ n’appartient pas à $W$.

Cela contredit l’une des propriétés fondamentales de tout espace vectoriel : la présence de l’élément neutre (le vecteur nul).

Remarque. Un ensemble qui ne contient pas le vecteur nul ne peut en aucun cas constituer un espace vectoriel, et donc encore moins un sous-espace.

Par conséquent, il est inutile de tester les autres conditions. On peut conclure immédiatement que $W$ n’est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.

Cet exercice est ainsi terminé.

Et l’on procède de la même manière pour les exercices suivants.