Exercice 1 : Sous-espace vectoriel

Soit $V = \mathbb{R}^2$. Il s’agit de déterminer si le sous-ensemble suivant $W$ est un sous-espace vectoriel de $V$ : $$ W = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 3x - 2y = 0 \} $$

Pour le vérifier, nous examinerons si $W$ satisfait les propriétés caractéristiques des sous-espaces vectoriels.

1) Le vecteur nul appartient à W

Considérons un vecteur arbitraire $\vec{w} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ de $W$. Par définition :

$$ \vec{w} \in W \quad \Leftrightarrow \quad 3x - 2y = 0 $$

Vérifions si le vecteur nul est élément de $W$ :

$$ 3(0) - 2(0) = 0 $$

Comme l’égalité est satisfaite, le vecteur nul $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ appartient bien à $W$.

Remarque. La présence du vecteur nul constitue toujours la première vérification. S’il n’appartient pas à l’ensemble, celui-ci ne peut en aucun cas être un sous-espace, et l’examen des autres conditions devient superflu.

2) Stabilité par addition vectorielle

Soient $\vec{w}_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$ et $\vec{w}_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$ deux vecteurs de $W$. On a alors :

$$ 3x_1 - 2y_1 = 0 \quad \text{et} \quad 3x_2 - 2y_2 = 0 $$

Considérons leur somme :

$$ 3(x_1 + x_2) - 2(y_1 + y_2) = (3x_1 - 2y_1) + (3x_2 - 2y_2) = 0 + 0 = 0 $$

Ainsi, $\vec{w}_1 + \vec{w}_2 \in W$, ce qui montre que $W$ est stable par addition de vecteurs.

3) Stabilité par multiplication scalaire

Soit $\vec{w} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in W$, avec $3x - 2y = 0$, et soit $\lambda \in \mathbb{R}$ un scalaire quelconque.

Examinons $\lambda \vec{w}$ :

$$ 3(\lambda x) - 2(\lambda y) = \lambda (3x - 2y) = \lambda \cdot 0 = 0 $$

On en déduit que $\lambda \vec{w} \in W$, ce qui confirme la stabilité par multiplication scalaire.

Puisque $W$ contient le vecteur nul, et qu’il est stable à la fois par addition et par multiplication par un scalaire, nous concluons que $W$ est bien un sous-espace vectoriel de $V$.

C.Q.F.D.