Ecuación diferencial de primer orden. Ejercicio 14
Resolvamos la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden:
$$ y' + x y + x = 0 $$
El primer paso consiste en escribirla en su forma estándar:
$$ y' + a(x)y = b(x) $$
En este caso basta con trasladar el término \(x\) al segundo miembro, de modo que:
$$ y' + x y = -x $$
Por tanto, identificamos:
$$ a(x)=x \qquad b(x)=-x $$
Al tratarse de una ecuación diferencial lineal de primer orden, podemos resolverla mediante el método de variación de las constantes, un procedimiento equivalente al método del factor integrante.
La fórmula general de la solución es:
$$ y = e^{-\int a(x)\,dx}\left[\int b(x)\,e^{\int a(x)\,dx}\,dx + C\right] $$
Sustituyendo \(a(x)=x\) y \(b(x)=-x\), obtenemos:
$$ y = e^{-\int x\,dx}\left[\int -x\,e^{\int x\,dx}\,dx + C\right] $$
Como
$$ \int x\,dx=\frac{x^2}{2} $$
la expresión se simplifica a:
$$ y = e^{-\frac{x^2}{2}}\left[-\int x\,e^{\frac{x^2}{2}}\,dx + C\right] $$
Ahora debemos calcular la integral
$$ \int x\,e^{\frac{x^2}{2}}\,dx $$
Es una integral inmediata, ya que \(e^{\frac{x^2}{2}}\) es una primitiva del integrando. Podemos comprobarlo derivando:
Comprobación: \( \frac{d}{dx}\left[e^{\frac{x^2}{2}}\right] = e^{\frac{x^2}{2}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\right)=e^{\frac{x^2}{2}}\cdot x \)
Por consiguiente,
$$ \int x\,e^{\frac{x^2}{2}}\,dx = e^{\frac{x^2}{2}} $$
Sustituyendo este resultado en la expresión de la solución, obtenemos:
$$ y = e^{-\frac{x^2}{2}}\left[-e^{\frac{x^2}{2}} + C\right] $$
Distribuyendo el factor exponencial:
$$ y = -e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot e^{\frac{x^2}{2}} + C\,e^{-\frac{x^2}{2}} $$
Dado que
$$ e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot e^{\frac{x^2}{2}}=e^0=1 $$
se llega a:
$$ y = -1 + C\,e^{-\frac{x^2}{2}} $$
En consecuencia, la solución general de la ecuación diferencial es:
$$ y = C\,e^{-\frac{x^2}{2}} - 1 $$
Como comprobación final, basta sustituir esta expresión y su derivada en la ecuación diferencial inicial. Se verifica así que la igualdad se satisface para cualquier valor de la constante arbitraria \(C\), confirmando que la solución obtenida es correcta.
