Ecuaciones diferenciales de segundo orden sin dependencia explícita de y
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden en las que la función incógnita \( y(x) \) no aparece de forma explícita pueden simplificarse mediante un cambio de variable. La idea consiste en introducir la variable auxiliar \( u = y' \), transformando así la ecuación original en una ecuación diferencial de primer orden, generalmente más sencilla de resolver.
Ejemplo práctico
Veamos cómo aplicar este procedimiento paso a paso para resolver una ecuación diferencial de segundo orden.
Partimos de la ecuación:
$$ xy'' + y' = \log x $$
Para escribirla en su forma normal, dividimos ambos miembros entre \( x \):
$$ \frac{xy'' + y'}{x} = \frac{\log x}{x} $$
$$ y'' + \frac{y'}{x} = \frac{\log x}{x} $$
Ahora introducimos la variable auxiliar \( u = y' \):
$$ y'' + \frac{u}{x} = \frac{\log x}{x} $$
Dado que \( u = y' \), su derivada es \( u' = y'' \). Sustituyendo en la ecuación obtenemos:
$$ u' + \frac{u}{x} = \frac{\log x}{x} $$
Hemos convertido la ecuación original en una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden para la función \( u \).
Resolución de la ecuación auxiliar
La ecuación tiene la forma general:
$$ u' + A(x)\,u = b(x) $$
En este caso:
$$ A(x)=\frac{1}{x} $$
La resolveremos mediante el método del factor integrante.
Calculamos el factor integrante:
$$ \mu(x)=e^{\int \frac{1}{x}\,dx}=e^{\log x}=x $$
Multiplicamos toda la ecuación por \( x \):
$$ x\left(u' + \frac{u}{x}\right)=x\cdot\frac{\log x}{x} $$
$$ xu' + u = \log x $$
Observa que el miembro izquierdo coincide con la derivada del producto \( x\,u \):
$$ \frac{d}{dx}(x\,u)=\log x $$
Integramos ambos miembros:
$$ \int \frac{d}{dx}(x\,u)\,dx=\int \log x\,dx $$
La integral del lado izquierdo es inmediata:
$$ x\,u=\int \log x\,dx + c_1 $$
Para calcular la integral del logaritmo utilizamos la integración por partes:
$$ x\,u = x\log x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx + c_1 $$
$$ x\,u = x\log x - \int 1\,dx + c_1 $$
$$ x\,u = x\log x - x + c_1 $$
Factorizando \( x \):
$$ x\,u = x(\log x - 1) + c_1 $$
Como \( x>0 \), ya que es el argumento de un logaritmo, podemos dividir ambos miembros entre \( x \):
$$ u = \log x - 1 + \frac{c_1}{x} $$
Recuperación de la función y
Recordemos que \( u = y' \). Por tanto:
$$ y' = \log x - 1 + \frac{c_1}{x} $$
Integramos nuevamente para obtener la función buscada:
$$ \int y'\,dx = \int \left(\log x - 1 + \frac{c_1}{x}\right)dx $$
Aplicando la linealidad de la integración:
$$ y = \int \log x\,dx - \int 1\,dx + c_1\int \frac{1}{x}\,dx + c_2 $$
Sustituimos las primitivas conocidas:
$$ \int \log x\,dx = x(\log x - 1) $$
$$ \int 1\,dx = x $$
$$ \int \frac{1}{x}\,dx = \log x $$
Reemplazando estos resultados:
$$ y = x(\log x - 1) - x + c_1\log x + c_2 $$
Desarrollamos la expresión:
$$ y = x\log x - x - x + c_1\log x + c_2 $$
Y agrupamos los términos semejantes:
$$ y = x\log x - 2x + c_1\log x + c_2 $$
Solución general
La solución general de la ecuación diferencial es:
$$ y = x\log x - 2x + c_1\log x + c_2 $$
Este ejemplo muestra una técnica muy útil para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden en las que la función \( y \) no aparece explícitamente. Al introducir la sustitución \( u=y' \), el problema se reduce a una ecuación de primer orden, lo que simplifica notablemente el proceso de resolución.
