Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes es una ecuación de la forma:
$$ ay'' + by' + cy = 0 $$
donde \( a \), \( b \) y \( c \) son constantes reales y \( a \ne 0 \).
Este tipo de ecuaciones aparece con frecuencia en física, ingeniería y matemáticas aplicadas. Su principal ventaja es que pueden resolverse mediante un procedimiento sistemático basado en la llamada ecuación característica.
La ecuación característica asociada es:
$$ az^2 + bz + c = 0 $$
Se trata de una ecuación polinómica de segundo grado cuyas raíces determinan la forma de la solución general. Para clasificarlas se utiliza el discriminante:
$$ \Delta = b^2 - 4ac $$
Según el valor de \( \Delta \), pueden presentarse tres situaciones.
- Dos raíces reales distintas, \( z_1 \ne z_2 \), cuando \( \Delta > 0 \).
En este caso, la solución general es: $$ y(x) = c_1 e^{z_1 x} + c_2 e^{z_2 x} $$ - Una raíz real doble, cuando \( \Delta = 0 \).
La solución general toma la forma: $$ y(x) = c_1 e^{z_1 x} + c_2 x e^{z_1 x} $$ - Dos raíces complejas conjugadas, \( \alpha \pm i\beta \), cuando \( \Delta < 0 \).
La solución general es: $$ y(x) = e^{\alpha x}\left(c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x)\right) $$
Las constantes \( c_1 \) y \( c_2 \) son arbitrarias y se determinan a partir de las condiciones iniciales o de contorno del problema.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: raíces reales distintas
Consideremos la ecuación diferencial:
$$ y'' - 3y' - 4y = 0 $$
La ecuación característica es:
$$ z^2 - 3z - 4 = 0 $$
Calculamos sus raíces:
$$ z = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \begin{cases} z_1 = 4 \\ z_2 = -1 \end{cases} $$
Como las raíces son reales y distintas, la solución general es:
$$ y(x) = c_1 e^{4x} + c_2 e^{-x} $$
Ejemplo 2: raíz real doble
Consideremos ahora:
$$ y'' + 6y' + 9y = 0 $$
La ecuación característica asociada es:
$$ z^2 + 6z + 9 = 0 $$
Al resolverla obtenemos:
$$ z = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2} = -3 $$
Como existe una única raíz real con multiplicidad dos, la solución general es:
$$ y(x) = c_1 e^{-3x} + c_2 x e^{-3x} $$
Ejemplo 3: raíces complejas conjugadas
Consideremos finalmente:
$$ y'' + 2y' + 2y = 0 $$
La ecuación característica es:
$$ z^2 + 2z + 2 = 0 $$
Sus raíces son:
$$ z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \begin{cases} z_1 = -1 + i \\ z_2 = -1 - i \end{cases} $$
Por tanto, \( \alpha = -1 \) y \( \beta = 1 \). La solución general resulta:
$$ y(x) = e^{-x}\left(c_1 \cos x + c_2 \sin x\right) $$
¿Por qué funciona este método?
La idea consiste en buscar soluciones de tipo exponencial para la ecuación:
$$ a y'' + b y' + c y = 0 $$
Supongamos que:
$$ y(x) = e^{zx} $$
donde \( z \) es una constante por determinar.
Entonces:
$$ y'(x) = z e^{zx} $$
$$ y''(x) = z^2 e^{zx} $$
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación diferencial obtenemos:
$$ a z^2 e^{zx} + b z e^{zx} + c e^{zx} = 0 $$
Factorizando el término exponencial:
$$ (az^2 + bz + c)e^{zx} = 0 $$
Como la función exponencial nunca es nula, necesariamente debe cumplirse:
$$ az^2 + bz + c = 0 $$
Esta es precisamente la ecuación característica. Una vez calculadas sus raíces, la solución general se obtiene aplicando una de las tres fórmulas correspondientes según el tipo de raíces encontrado.
Por esta razón, la resolución de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes se reduce al estudio de una simple ecuación cuadrática.
