Ecuaciones diferenciales lineales
Una ecuación diferencial lineal es una ecuación en la que la función incógnita \( y = y(x) \) y sus derivadas aparecen combinadas linealmente. Su forma general es: $$ y^{(k)} + a_{k-1}(x)y^{(k-1)} + \dots + a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x) $$
¿Qué es una ecuación diferencial lineal?
En este tipo de ecuaciones, la función desconocida \( y \) debe ser derivable \( k \) veces en un intervalo \([a, b] \subseteq \mathbb{R}\).
$$ y^{(k)} + a_{k-1}(x)y^{(k-1)} + \dots + a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x) $$
Los términos \( a_i \), con \( i = 0, \dots, k-1 \), se llaman coeficientes de la ecuación diferencial.
Estos coeficientes pueden ser constantes o funciones dependientes de la variable \( x \).
- Coeficientes variables
Son funciones continuas definidas en el intervalo \([a, b] \subseteq \mathbb{R}\): $$ y^{(k)} + a_{k-1}(x)y^{(k-1)} + \dots + a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x) $$ - Coeficientes constantes
Son números reales fijos: $$ y^{(k)} + a_{k-1}y^{(k-1)} + \dots + a_1y' + a_0y = g(x) $$
La función \( g(x) \) recibe el nombre de término no homogéneo o función de forzamiento.
Puede ser una función continua o simplemente una constante:
$$ g(x) = k $$
Por tanto, la ecuación puede escribirse como:
$$ y^{(k)} + a_{k-1}(x)y^{(k-1)} + \dots + a_1(x)y' + a_0(x)y = k $$
Cuando el término no homogéneo es cero, es decir, cuando \( g(x)=0 \), la ecuación se denomina homogénea:
$$ y^{(k)} + a_{k-1}(x)y^{(k-1)} + \dots + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0 $$
Nota. El coeficiente de la derivada de mayor orden suele normalizarse a 1. Esto siempre puede hacerse porque el coeficiente principal \( a_k \) debe ser distinto de cero: $$ a_k y^{(k)} + a_{k-1}y^{(k-1)} + \dots + a_1y' + a_0y = g(x) $$ Dividiendo ambos miembros entre \( a_k \), se obtiene: $$ \frac{a_k}{a_k} y^{(k)} + \frac{a_{k-1}}{a_k} y^{(k-1)} + \dots + \frac{a_1}{a_k} y' + \frac{a_0}{a_k} y = \frac{g(x)}{a_k} $$ Simplificando: $$ y^{(k)} + \frac{a_{k-1}}{a_k} y^{(k-1)} + \dots + \frac{a_1}{a_k} y' + \frac{a_0}{a_k} y = \frac{g(x)}{a_k} $$ Esta expresión se conoce como la forma normal de la ecuación diferencial: $$ y^{(k)} = \frac{g(x)}{a_k} - \frac{a_{k-1}}{a_k} y^{(k-1)} - \dots - \frac{a_1}{a_k} y' - \frac{a_0}{a_k} y $$
¿Por qué se llaman ecuaciones “lineales”?
Se llaman lineales porque el operador diferencial \( L \), que transforma la función \( y \) en el miembro izquierdo de la ecuación, es un operador lineal:
$$ L(y) = y^{(k)} + a_{k-1}(x)y^{(k-1)} + \dots + a_1(x)y' + a_0(x)y $$
Nota. El miembro izquierdo de la ecuación es una combinación lineal de la función y de sus derivadas: $$ y^{(k)} + a_{k-1}(x)y^{(k-1)} + \dots + a_1(x)y' + a_0(x)y $$ Esto define un operador lineal \( L \) que transforma funciones del espacio \( C^k(a,b) \), formado por funciones derivables \( k \) veces, en funciones del espacio \( C^0(a,b) \), formado por funciones continuas: $$ L : C^k(a,b) \rightarrow C^0(a,b) $$ Al ser lineal, satisface las propiedades: $$ L(y + u) = L(y) + L(u), \quad \forall y,u \in C^k $$ $$ L(\lambda y) = \lambda L(y), \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \ y \in C^k $$
Más generalmente, para cualesquiera funciones \( y \), \( u \) y escalares \( \alpha \), \( \beta \), se cumple:
$$ L(\alpha y + \beta u) = \alpha L(y) + \beta L(u) $$
Esta propiedad es fundamental en la teoría de ecuaciones diferenciales lineales porque permite generar nuevas soluciones mediante combinaciones lineales de soluciones conocidas.
Soluciones de una ecuación diferencial lineal
Una solución de una ecuación diferencial lineal es una función \( y = y(x) \), derivable hasta orden \( k \) en un intervalo \([a,b]\), que satisface:
$$ y^{(k)} + a_{k-1}(x)y^{(k-1)} + \dots + a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x) $$
Esta solución también recibe el nombre de integral de la ecuación diferencial.
Nota. Una ecuación diferencial lineal puede tener múltiples soluciones. El conjunto de todas ellas se denomina solución general o integral general.
Propiedades fundamentales
Las ecuaciones diferenciales lineales poseen varias propiedades importantes:
- Si \( y(x) \) y \( u(x) \) son soluciones de una misma ecuación lineal homogénea, entonces cualquier combinación lineal de ambas también es solución: $$ L(y)=L(u)=0 \Rightarrow L(\alpha y+\beta u)=\alpha L(y)+\beta L(u)=0 $$
- Si \( y(x) \) y \( u(x) \) son soluciones de una misma ecuación no homogénea, una combinación lineal de ambas no suele ser solución de la misma ecuación: $$ L(y)=L(u)=g \Rightarrow L(\alpha y+\beta u)=\alpha g+\beta g=(\alpha+\beta)g \neq g \ \text{en general} $$ Sin embargo, la diferencia entre ambas soluciones sí satisface la ecuación homogénea asociada: $$ L(y-u)=L(y)-L(u)=g-g=0 $$
Nota. Esto significa que toda solución de una ecuación no homogénea $$ y^{(k)} + a_{k-1}(x)y^{(k-1)} + \dots + a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x) $$ puede escribirse como la suma de:
- una solución particular de la ecuación no homogénea;
- la solución general de la ecuación homogénea asociada:
- Si todos los coeficientes están definidos y son continuos en el intervalo \( (a,b) \), entonces las soluciones también estarán definidas en todo el intervalo.
Y así sucesivamente.
