Problema de Cauchy

¿Qué es el problema de Cauchy?

El problema de Cauchy consiste en encontrar una solución particular de una ecuación diferencial para una función $ y=f(x) $, de manera que la curva integral asociada pase por un punto determinado $ (x_0,y_0) $: $$ \begin{cases} y' = F(x,y) \\ y_0 = f(x_0) \end{cases} $$

La condición $ y_0=f(x_0) $ se conoce como condición inicial.

Cuando resolvemos una ecuación diferencial, normalmente obtenemos una familia de soluciones que dependen de una o varias constantes arbitrarias. El problema de Cauchy permite seleccionar una única solución dentro de esa familia mediante la imposición de una o varias condiciones iniciales.

En términos geométricos, buscamos la curva integral que, además de satisfacer la ecuación diferencial, pase exactamente por un punto previamente fijado.

Nota. Un problema de Cauchy puede incluir una o varias condiciones iniciales. En el caso de una ecuación diferencial de orden $ n $, el problema está formado por la ecuación y por $ n $ condiciones impuestas en un mismo punto $ x_0 $, donde $ x_0 \in I $ y $ y_0,y_1,\dots,y_{n-1} $ representan los valores asignados a $ y,y',y'',\dots,y^{(n-1)} $: $$ \begin{cases} y^{(n)} = f(x,y(x),\dots,y^{(n-1)}(x)) \\ y(x_0) = y_0 \\ y'(x_0) = y_1 \\ \vdots \\ y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1} \end{cases} $$ Una función $ y \in C^n(I) $ es solución del problema de Cauchy si satisface la ecuación diferencial en cada punto $ x \in I $ y cumple todas las condiciones iniciales. Aquí, $ C^n(I) $ denota el conjunto de funciones con derivadas continuas hasta el orden $ n $ en el intervalo $ I $.

Por esta razón, el número de condiciones iniciales debe coincidir con el número de constantes arbitrarias presentes en la solución general. Además, todas las condiciones deben especificarse en el mismo punto $ x_0 $.

Ejemplo práctico

Consideremos el siguiente problema de Cauchy de primer orden:

$$ \begin{cases} y' - 2x = 3 \\ f(2) = 3 \end{cases} $$

Escribimos la ecuación en forma explícita:

$$ y' = 3 + 2x $$

Integramos ambos miembros para obtener la solución general:

$$ \int y' \, dx = \int (3 + 2x) \, dx $$

$$ y = 3x + x^2 + c $$

Ahora imponemos la condición inicial $ y(2)=3 $:

$$ 3 = 3 \cdot 2 + 2^2 + c $$

$$ 3 = 6 + 4 + c $$

Despejando la constante de integración:

$$ c = -7 $$

Por tanto, la solución particular es:

$$ y = 3x + x^2 - 7 $$

Esta función cumple la condición inicial y pasa por el punto $ (2,3) $.

Representación gráfica de la solución particular de una ecuación diferencial

Ejemplo 2

Veamos ahora un ejemplo aún más sencillo:

$$ \begin{cases} y' = -e^{-x} \\ y(0) = 3 \end{cases} $$

Integramos el segundo miembro:

$$ y = \int -e^{-x} \, dx = e^{-x} + c $$

Aplicamos la condición inicial:

$$ 3 = 1 + c $$

$$ c = 2 $$

Por consiguiente, la solución particular es:

$$ y = e^{-x} + 2 $$

Esta curva pasa por el punto $ (0,3) $.

Representación gráfica de la curva integral asociada a la solución particular

Ejemplo 3

El procedimiento es exactamente el mismo en ecuaciones de orden superior. Consideremos el siguiente problema de segundo orden:

$$ \begin{cases} y'' = 2x \\ y'(1) = 2 \\ y(1) = 3 \end{cases} $$

Como aparecen dos condiciones iniciales, la solución general deberá contener dos constantes arbitrarias.

Comenzamos integrando la segunda derivada:

$$ y' = \int 2x \, dx = x^2 + c_1 $$

Integramos de nuevo para obtener la función:

$$ y = \int (x^2 + c_1) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + c_1x + c_2 $$

Esta es la solución general de la ecuación diferencial.

Utilizamos la condición $ y'(1)=2 $ para calcular $ c_1 $:

$$ 2 = 1^2 + c_1 $$

$$ c_1 = 1 $$

Sustituyendo este valor en la solución general y aplicando la condición $ y(1)=3 $:

$$ 3 = \frac{1}{3}(1)^3 + 1(1) + c_2 $$

$$ 3 = \frac{4}{3} + c_2 $$

$$ c_2 = 3 - \frac{4}{3} = \frac{5}{3} $$

Obtenemos así la solución particular:

$$ y = \frac{1}{3}x^3 + x + \frac{5}{3} $$

Esta función satisface simultáneamente las dos condiciones iniciales:

$$ \begin{cases} y'' = 2x \\ y'(1) = 2 \\ y(1) = 3 \end{cases} $$

En la figura siguiente, la derivada primera $ y'=x^2+1 $ aparece representada en rojo y pasa por el punto $ (1,2) $, mientras que la solución $ y=\frac{1}{3}x^3+x+\frac{5}{3} $, representada en negro, pasa por el punto $ (1,3) $.

Representación gráfica de la solución y de su derivada primera

Este procedimiento puede aplicarse de forma análoga a problemas de Cauchy más complejos y a ecuaciones diferenciales de orden superior.