Método de los coeficientes indeterminados
El método de los coeficientes indeterminados
El método de los coeficientes indeterminados es una técnica práctica para encontrar una solución particular de una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden de la forma $$ ay'' + by' + cy = f(x) $$ Su principal ventaja es que aprovecha la estructura del término no homogéneo \( f(x) \), lo que permite construir una forma adecuada para la solución sin necesidad de procedimientos más complejos.
Cuando \( f(x) \) tiene una forma conocida, como un polinomio o una función exponencial, suele ser posible proponer una solución particular \( y_p \) con una estructura similar. A partir de esa suposición, basta determinar los coeficientes desconocidos para obtener la solución buscada.
Gracias a su sencillez y eficacia, este método ocupa un lugar destacado en el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales.
¿Por qué es necesaria una solución particular? La solución general de una ecuación diferencial no homogénea se obtiene sumando una solución particular \( y_p \) a la solución general \( y_o \) de la ecuación homogénea asociada. En otras palabras:
$$ y = y_o + y_p $$
- Caso 1: El término no homogéneo es un polinomio
- Caso 2: El término no homogéneo es una función exponencial
- Cuando el término no homogéneo es el producto de un polinomio y una función exponencial
- Cuando el término no homogéneo es una función seno o coseno
- Cuando el término no homogéneo es un polinomio multiplicado por una función trigonométrica
- Principio de superposición
Caso 1: El término no homogéneo es un polinomio
Supongamos que el término no homogéneo es un polinomio \( P_n(x) \) de grado \( n \):
$$ ay'' + by' + cy = P_n(x) $$
En este caso, la forma que debe adoptarse para la solución particular depende de los coeficientes de la ecuación:
| f(x) | yp | Condiciones |
|---|---|---|
| Pn(x) | A0 + A1x + A2x2 + ... + Anxn | si \( c \ne 0 \) |
| Pn(x) | x(A0 + A1x + A2x2 + ... + Anxn) | si \( c = 0 \), \( b \ne 0 \) |
| Pn(x) | x2(A0 + A1x + A2x2 + ... + Anxn) | si \( c = 0 \), \( b = 0 \) |
En términos prácticos, cuando el término \( y \) no aparece en la ecuación (\( c = 0 \)), la solución particular debe tener un grado superior al del polinomio original. Si tampoco aparece el término \( y' \), el grado debe incrementarse todavía más.
Ejemplo
Veamos cómo aplicar el método para encontrar una solución particular de la ecuación:
$$ y'' + y = x^2 $$
Aquí el término no homogéneo es:
$$ f(x) = x^2 $$
y los coeficientes de la ecuación son \( a = 1 \), \( b = 0 \) y \( c = 1 \).
Dado que \( f(x) \) es un polinomio de segundo grado y \( c \ne 0 \), proponemos la siguiente forma para la solución particular:
$$ y_p = A_0 + A_1 x + A_2 x^2 $$
Calculamos sus derivadas:
$$ y_p' = A_1 + 2A_2 x $$
$$ y_p'' = 2A_2 $$
Ahora sustituimos \( y_p \) y \( y_p'' \) en la ecuación diferencial:
$$ y'' + y = x^2 $$
$$ 2A_2 + (A_0 + A_1 x + A_2 x^2) = x^2 $$
Ordenando los términos según las potencias de \( x \):
$$ x^2(A_2) + x(A_1) + (A_0 + 2A_2) = x^2 $$
Para que ambos miembros sean iguales, los coeficientes de cada potencia de \( x \) deben coincidir:
$$ \begin{cases} A_2 = 1 \\ \\ A_1 = 0 \\ \\ A_0 + 2A_2 = 0 \end{cases} $$
Interpretación. El coeficiente de \( x^2 \) en el segundo miembro es 1, por lo que \( A_2 = 1 \). No aparece ningún término en \( x \), de modo que \( A_1 = 0 \). Finalmente, el término independiente debe anularse, lo que implica que \( A_0 + 2A_2 = 0 \). Como \( A_2 = 1 \), se obtiene \( A_0 = -2 \).
Por tanto:
$$ \begin{cases} A_2 = 1 \\ \\ A_1 = 0 \\ \\ A_0 = -2 \end{cases} $$
La solución particular es:
$$ y_p = -2 + x^2 $$
Nota. Una vez obtenida la solución particular, podemos escribir la solución general de la ecuación. Para ello, sumamos \( y_p = x^2 - 2 \) a la solución general de la ecuación homogénea asociada, que es:
$$ y_o = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) $$
Por consiguiente:
$$ y = y_o + y_p = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) + x^2 - 2 $$
Caso 2: El término no homogéneo es una función exponencial
Consideremos ahora una ecuación diferencial de la forma:
$$ ay'' + by' + cy = ke^{\lambda x} $$
En este caso, la forma de la solución particular depende de si \( \lambda \) es o no una raíz de la ecuación característica asociada a la ecuación homogénea.
| f(x) | yp | Condiciones |
|---|---|---|
| keλx | A \cdot eλx | si \( \lambda \) no es una raíz de la ecuación característica \( ay^2 + by + c = 0 \) |
| keλx | A \cdot x \cdot eλx | si \( \lambda \) es una raíz simple |
| keλx | A \cdot xm \cdot eλx | si \( \lambda \) es una raíz de multiplicidad \( m \) |
Puede verse una aplicación completa de este procedimiento en la resolución de \( y'' - 2y' - 3y = e^{4x} \).
Cuando el término no homogéneo es el producto de un polinomio y una función exponencial
También es frecuente encontrar ecuaciones en las que el término no homogéneo es el producto de un polinomio y una exponencial:
$$ ay'' + by' + cy = P_n(x) \cdot e^{\lambda x} $$
En este caso, la forma de la solución particular combina ambos tipos de funciones:
| f(x) | yp | Condiciones |
|---|---|---|
| Pn(x)·eλx | eλx·(A0 + A1x + A2x2 + ... + Anxn) | si \( \lambda \) no es una raíz de la ecuación característica \( ay^2 + by + c = 0 \) |
| Pn(x)·eλx | xm·eλx·(A0 + A1x + A2x2 + ... + Anxn) | si \( \lambda \) es una raíz de multiplicidad \( m \) de la ecuación característica |
Puede consultarse un ejemplo detallado en la resolución de \( y'' - 2y' + y = 6x e^x \).
Cuando el término no homogéneo es una función seno o coseno
Otro caso muy frecuente aparece cuando el término no homogéneo es una combinación de funciones seno y coseno:
$$ ay'' + by' + cy = k_1 \sin(\lambda x) + k_2 \cos(\lambda x) $$
donde uno de los coeficientes puede ser nulo:
$$ ay'' + by' + cy = k_1 \sin(\lambda x) \quad \text{si } k_2 = 0 $$
$$ ay'' + by' + cy = k_2 \cos(\lambda x) \quad \text{si } k_1 = 0 $$
En estas situaciones, la solución particular suele buscarse en la forma:
| f(x) | yp | Condiciones |
|---|---|---|
| k1·sin(λx) + k2·cos(λx) | A·sin(λx) + B·cos(λx) | \( \lambda \) es un parámetro fijo; \( A \) y \( B \) son coeficientes indeterminados |
| k1·sin(λx) + k2·cos(λx) | x·[A·sin(λx) + B·cos(λx)] | si \( b = 0 \) y \( i\lambda \) es una raíz de la ecuación característica |
Puede verse una aplicación práctica de este procedimiento en la resolución de \( y'' + 4y' + 13y = \sin(3x) \).
Nota. Aunque el término no homogéneo contenga únicamente una función seno o únicamente una función coseno, la solución particular suele incluir ambas funciones. Esto se debe a que las derivadas de las funciones trigonométricas generan términos de ambos tipos.
Cuando el término no homogéneo es un polinomio multiplicado por una función trigonométrica
También es habitual encontrar ecuaciones diferenciales cuyo término no homogéneo combina un polinomio con una función trigonométrica. En algunos casos, además, aparece un factor exponencial:
$$ ay'' + by' + cy = P_n(x) e^{\alpha x} \cos(\beta x) $$
$$ ay'' + by' + cy = P_n(x) e^{\alpha x} \sin(\beta x) $$
La forma de la solución particular depende de si el número complejo \( \alpha + i\beta \) es o no una raíz de la ecuación característica asociada:
| f(x) | yp | Condiciones |
|---|---|---|
| Pn(x)·eαx·cos(βx) | (A0 + A1x + ... + Anxn)·eαx·cos(βx) + (B0 + B1x + ... + Bnxn)·eαx·sin(βx) | si \( \alpha + i\beta \) no es una raíz de la ecuación característica |
| Pn(x)·eαx·sin(βx) | ||
| Pn(x)·eαx·cos(βx) | x·(A0 + A1x + ... + Anxn)·eαx·cos(βx) + x·(B0 + B1x + ... + Bnxn)·eαx·sin(βx) | si \( \alpha + i\beta \) es una raíz de la ecuación característica |
| Pn(x)·eαx·sin(βx) |
Puede consultarse un ejemplo completo en la resolución de \( y'' - y = 2x \sin(x) \).
Principio de superposición
Una de las propiedades más útiles de las ecuaciones diferenciales lineales es el principio de superposición. Si el término no homogéneo es la suma de dos funciones:
$$ ay'' + by' + cy = f_1(x) + f_2(x) $$
la solución particular puede obtenerse sumando las soluciones particulares correspondientes a cada término:
$$ y_p = y_{p1} + y_{p2} $$
donde \( y_{p1} \) y \( y_{p2} \) satisfacen respectivamente:
$$ ay'' + by' + cy = f_1(x) $$
$$ ay'' + by' + cy = f_2(x) $$
Gracias a esta propiedad, un problema complicado puede descomponerse en varios problemas más sencillos. Después, basta sumar las soluciones particulares obtenidas para reconstruir la solución buscada.
Puede verse un ejemplo ilustrativo en la resolución de \( y'' + 3y = x + 2\cos(x) \).
Y así sucesivamente. Combinando las reglas vistas para polinomios, exponenciales y funciones trigonométricas, es posible construir soluciones particulares para una amplia variedad de ecuaciones diferenciales no homogéneas.
