Ejercicio 19: Resolución de una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden
Resolvamos paso a paso la siguiente ecuación diferencial:
$$ y'' - 2y' + y = 6x e^x $$
Se trata de una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden. Para encontrar su solución general, primero resolveremos la ecuación homogénea asociada y después calcularemos una solución particular de la ecuación completa.
La solución general tendrá la forma:
$$ y = y_h + y_p $$
donde \( y_h \) es la solución de la ecuación homogénea y \( y_p \) es una solución particular de la ecuación no homogénea.
Veamos el procedimiento paso a paso.
1] Resolver la ecuación homogénea
Comenzamos con la ecuación homogénea asociada:
$$ y'' - 2y' + y = 0 $$
La ecuación característica correspondiente es:
$$ r^2 - 2r + 1 = 0 $$
Aplicando la fórmula general:
$$ r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(1)}}{2} = \begin{cases} r_1 = 1 \\ \\ r_2 = 1 \end{cases} $$
La ecuación característica tiene una raíz real doble, \( r = 1 \). En este caso, la solución general de la ecuación homogénea es:
$$ y_h = c_1 e^x + c_2 x e^x $$
2] Calcular una solución particular
Ahora buscamos una solución particular utilizando el método de los coeficientes indeterminados.
El término no homogéneo de la ecuación es:
$$ 6x e^x $$
Esta expresión tiene la forma general \( P(x)e^{\lambda x} \), donde:
$$ P(x)=6x \qquad \lambda=1 $$
Como \( \lambda = 1 \) es una raíz de la ecuación característica con multiplicidad \( m = 2 \), la función tentativa debe multiplicarse por \( x^2 \). Por ello proponemos:
$$ y_p = x^m e^{\lambda x}Q(x) = x^2 e^x(A+Bx) $$
Nota. La multiplicidad \( m \) de una raíz \( \lambda \) es el mayor exponente para el que el polinomio característico puede escribirse en la forma $$ p(r)=(r-\lambda)^mR(r). $$ Como \( r^2-2r+1=(r-1)^2 \), la raíz \( r=1 \) tiene multiplicidad 2.
Dado que \( P(x) \) es un polinomio de primer grado, \( Q(x) \) también debe ser un polinomio de primer grado:
$$ Q(x)=A+Bx $$
Al sustituir esta expresión en la función tentativa obtenemos:
$$ y_p = x^2 e^x(A+Bx) $$
A continuación calculamos las derivadas.
Primera derivada
$$ y_p' = D_x\!\left[x^2 e^x(A+Bx)\right] $$
Aplicando la regla del producto:
$$ y_p' = 2x e^x(A+Bx) + x^2 e^x(A+Bx) + x^2 e^xB $$
Segunda derivada
$$ y_p'' = D_x[y_p'] = D_x[2x e^x(A+Bx)] + D_x[x^2 e^x(A+Bx)] + D_x[x^2 e^xB] $$
Después de derivar y simplificar, se obtiene:
$$ y_p'' = e^x\left[ 2A + 4x(A+Bx) + 6xB + x^2(A+Bx) + 2x^2B \right] $$
Ahora sustituimos \( y_p \), \( y_p' \) y \( y_p'' \) en la ecuación original:
$$ y'' - 2y' + y = 6x e^x $$
Tras simplificar y agrupar términos semejantes, el miembro izquierdo queda:
$$ e^x(2A+6Bx) $$
Para determinar los coeficientes \( A \) y \( B \), igualamos los términos correspondientes de ambos miembros:
$$ \begin{cases} 2A=0 \\ \\ 6B=6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} A=0 \\ \\ B=1 \end{cases} $$
Interpretación. Como en el segundo miembro no aparece ningún término constante multiplicado por \( e^x \), necesariamente debe cumplirse \( 2A=0 \). Además, el coeficiente de \( xe^x \) debe ser el mismo en ambos lados de la ecuación, lo que lleva a la condición \( 6B=6 \).
Sustituyendo los valores obtenidos en la función tentativa:
$$ y_p = x^2 e^x(0+x) = x^3 e^x $$
3] Escribir la solución general
La solución general se obtiene sumando la solución homogénea y la solución particular:
$$ y = y_h + y_p $$
Sustituyendo las expresiones calculadas:
$$ y_h = c_1 e^x + c_2 x e^x $$
$$ y_p = x^3 e^x $$
Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:
$$ y = c_1 e^x + c_2 x e^x + x^3 e^x $$
Esta expresión representa la familia completa de soluciones de la ecuación diferencial planteada.
