Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Una ecuación diferencial de segundo orden es una ecuación diferencial en la que la derivada de mayor orden de la función incógnita es la segunda derivada, y'' = f''(x). En su forma más general se escribe como: $$ F(x,y,y',y'')=0 $$ Cuando la ecuación está despejada respecto de la segunda derivada, se expresa de la siguiente manera: $$ y''=G(x,y,y') $$
La incógnita de la ecuación es la función y(x).
Resolver una ecuación diferencial de segundo orden consiste en encontrar una función y = f(x) cuya segunda derivada cumpla la relación impuesta por la ecuación.
Por ejemplo, la siguiente expresión es una ecuación diferencial de segundo orden:
$$ y'' = y' + y + x $$
La solución general, también conocida como integral general, está formada por una familia de funciones que depende de dos constantes arbitrarias, c1 y c2.
$$ y = y(x, c_1, c_2) $$
Al asignar valores concretos a estas constantes se obtienen las distintas soluciones particulares de la ecuación diferencial.
Nota. Una ecuación diferencial de segundo orden se denomina homogénea cuando la función g(x) es idénticamente nula: $$ y'' + y' + y = g(x) = 0 $$ Por ejemplo: $$ y'' + 3y' + 4y = 0 $$ En cambio, se denomina no homogénea (o completa) cuando g(x) es distinta de cero en al menos un punto del intervalo considerado: $$ y'' + y' + y = g(x) \ne 0 $$ Por ejemplo: $$ y'' + 3y' + 4y = 3x $$
Ejemplo práctico
Consideremos la siguiente ecuación diferencial:
$$ y'' = \sin x $$
Se trata de una ecuación diferencial elemental, ya que puede resolverse mediante dos integraciones sucesivas.
Primero integramos ambos miembros para obtener la primera derivada de la función incógnita:
$$ \int y'' \ dx = \int \sin x \ dx $$
$$ y' = -\cos x + c_1 $$
A continuación, integramos una segunda vez para recuperar la función y:
$$ \int y' \ dx = \int (-\cos x + c_1) \ dx $$
$$ y = -\sin x + c_1 x + c_2 $$
Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:
$$ y = -\sin x + c_1 x + c_2 $$
Nota. Mientras que las ecuaciones diferenciales de primer orden incorporan una única constante de integración, las ecuaciones diferenciales de segundo orden contienen dos constantes arbitrarias de integración, c1 y c2.
Tipos de ecuaciones diferenciales de segundo orden
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden pueden clasificarse en diferentes categorías. Entre las más importantes se encuentran las siguientes:
- Ecuaciones diferenciales elementales de segundo orden
Son las más sencillas y suelen presentarse en la forma y'' = f(x). Para resolverlas basta con realizar dos integraciones consecutivas: $$ y'' = f(x) $$ - Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes
Son ecuaciones lineales cuyos coeficientes a, b y c son constantes. Su forma general es: $$ ay'' + by' + cy = 0 $$ - Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas
Tienen la forma: $$ ay'' + by' + cy = g(x) $$ donde g(x) ≠ 0 en algún punto del intervalo considerado.
Además de estas categorías, existen muchas otras clases de ecuaciones diferenciales de segundo orden, cada una con características propias y técnicas de resolución específicas.
