Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden de la forma \(y'' = f(x)\)

Una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden de la forma \(y'' = f(x)\) es una ecuación en la que la segunda derivada de una función depende únicamente de la variable independiente \(x\).

$$ y'' = f(x) $$

Este tipo de ecuaciones diferenciales se encuentra entre los más sencillos de resolver. La razón es que basta con integrar dos veces la segunda derivada para obtener la solución general.

La primera integración permite calcular la derivada primera \(y'\), mientras que la segunda proporciona la función incógnita \(y\).

$$ y' = \int y'' \, dx $$

$$ y = \int y' \, dx $$

En cada integración aparece una constante arbitraria, ya que existen infinitas funciones con la misma derivada. Estas constantes forman parte de la solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo práctico

Veamos cómo se aplica este procedimiento a una ecuación diferencial concreta:

$$ y'' = \sin x $$

Para encontrar la solución general realizamos dos integraciones consecutivas.

En primer lugar, integramos la segunda derivada para obtener la derivada primera:

$$ \int y'' \, dx = \int \sin x \, dx $$

$$ y' = -\cos x + c_1 $$

Por tanto, la derivada primera es \(y'=-\cos(x)+c_1\).

A continuación, integramos la expresión obtenida para calcular la función incógnita:

$$ \int y' \, dx = \int \left( -\cos x + c_1 \right) \, dx $$

$$ y = -\sin x + c_1 x + c_2 $$

Así obtenemos la función \(y=-\sin(x)+c_1x+c_2\).

La expresión anterior es la solución general de la ecuación diferencial, ya que incluye las dos constantes de integración \(c_1\) y \(c_2\).

El mismo método puede utilizarse para resolver cualquier ecuación diferencial ordinaria de segundo orden cuya forma sea \(y'' = f(x)\).