Ecuaciones diferenciales lineales de orden n

Una ecuación diferencial lineal de orden $ n $ es una ecuación en la que la función desconocida $ y(x) $ y sus derivadas hasta el orden $ n $ aparecen combinadas linealmente. Su forma general es: $$ a_n(x)y^{(n)}(x) + \dots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = f(x) $$ En esta expresión, $ a_n(x), \dots, a_0(x) $ son las funciones coeficiente, mientras que $ n $ indica el orden de la derivada más alta que interviene en la ecuación.

Las ecuaciones diferenciales lineales constituyen una de las familias más importantes dentro de las ecuaciones diferenciales, ya que aparecen con frecuencia en matemáticas, física, ingeniería y muchas otras disciplinas científicas.

Si $ f(x) = 0 $, la ecuación se denomina homogénea.

Si $ f(x) \neq 0 $, se denomina no homogénea.

Nota: Una ecuación diferencial lineal puede escribirse en forma normal siempre que el coeficiente principal $ a_n(x) $ sea distinto de cero.

Dentro de esta categoría existen numerosos casos particulares, que se distinguen por el orden de la ecuación y por el tipo de coeficientes que intervienen.

Por ejemplo, una ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes variables tiene la forma:

$$ y'(x) + a(x)y(x) = b(x) $$

Por otro lado, una ecuación diferencial lineal de orden $ n $ con coeficientes constantes se expresa como:

$$ a_n y^{(n)}(x) + \dots + a_1 y'(x) + a_0 y(x) = f(x) $$

En este caso, los coeficientes $ a_n, \dots, a_0 $ son constantes, por lo que no dependen de la variable independiente $ x $.

Muchos otros tipos de ecuaciones diferenciales lineales pueden estudiarse a partir de estas mismas ideas generales, adaptando los métodos de resolución a las características específicas de cada caso.