Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Una ecuación diferencial es lineal cuando puede escribirse en la forma $$ y' + a(x)y = b(x) $$ donde \( a(x) \) y \( b(x) \) son funciones continuas definidas en un intervalo.
La ecuación es homogénea si \( b(x) = 0 \):
$$ y' + a(x)y = 0 $$
Si \( b(x) \ne 0 \), la ecuación se denomina no homogénea o completa.
Cómo resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden
La solución general de una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma \( y' + a(x)y = b(x) \) viene dada por:
$$ y = e^{-\int a(x)\, dx} \int b(x)\, e^{\int a(x)\, dx} dx + c $$
Esta expresión permite resolver cualquier ecuación lineal de primer orden siempre que puedan calcularse las integrales involucradas.
En el caso homogéneo, es decir, cuando \( b(x) = 0 \), la fórmula se simplifica considerablemente:
$$ y = k\, e^{-\int a(x)\, dx} $$
donde \( k \in \mathbb{R} \) es una constante arbitraria.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Consideremos la ecuación diferencial lineal homogénea:
$$ y' = x^2 y $$
Primero la escribimos en la forma estándar:
$$ y' - x^2 y = 0 $$
Por tanto:
$$ a(x) = -x^2 $$
Aplicamos la fórmula correspondiente al caso homogéneo:
$$ y = k\, e^{-\int a(x)\, dx} $$
Sustituyendo \( a(x) \):
$$ y = k\, e^{-\int (-x^2)\, dx} $$
lo que equivale a:
$$ y = k\, e^{\int x^2\, dx} $$
Calculamos la integral:
$$ \int x^2\, dx = \frac{x^3}{3} $$
Finalmente obtenemos:
$$ y = k\, e^{\frac{x^3}{3}} $$
Ejemplo 2
Consideremos ahora la ecuación no homogénea:
$$ y' = -\frac{y}{x} + 2x $$
La reescribimos en forma estándar:
$$ y' + \frac{1}{x} y = 2x $$
En este caso:
$$ a(x) = \frac{1}{x}, \qquad b(x) = 2x $$
Aplicamos la fórmula general:
$$ y = e^{-\int \frac{1}{x}\, dx} \int 2x\, e^{\int \frac{1}{x}\, dx} dx + c $$
Calculamos las integrales:
$$ y = e^{-\log x} \int 2x\, e^{\log x} dx + c $$
Como:
$$ e^{\log x} = x $$
se obtiene:
$$ y = \frac{1}{x} \int 2x^2\, dx + c $$
Integramos:
$$ \int 2x^2\, dx = \frac{2x^3}{3} $$
Entonces:
$$ y = \frac{1}{x} \left( \frac{2x^3}{3} + c \right) $$
Simplificando la expresión final:
$$ y = \frac{2x^2}{3} + \frac{c}{x} $$
Este procedimiento puede aplicarse de manera similar a muchas otras ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
