Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
Una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes puede expresarse en la forma $$ ay'' + by' + cy = r(x) $$ donde \( a \), \( b \) y \( c \) son constantes reales, mientras que \( r(x) \) es una función conocida.
Esta expresión se conoce como la forma completa de la ecuación diferencial. Cuando el término \( r(x) \) es distinto de cero, la ecuación se denomina no homogénea.
Uno de los métodos más importantes para resolver este tipo de ecuaciones es el método de variación de parámetros, una técnica general que permite encontrar una solución particular a partir de las soluciones de la ecuación homogénea asociada.
Pasos del método de variación de parámetros
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Primero se determina la solución general de la ecuación homogénea asociada:
$$ y_A = c_1 y_1 + c_2 y_2 \qquad \text{donde } ay'' + by' + cy = 0 $$
Las funciones \( y_1 \) y \( y_2 \) son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea.
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A continuación se busca una solución particular de la ecuación no homogénea en la forma:
$$ y_P = c_1(x)y_1 + c_2(x)y_2 $$
Las funciones \( c_1(x) \) y \( c_2(x) \) se obtienen resolviendo el sistema:
$$ \begin{cases} c'_1(x)y_1 + c'_2(x)y_2 = 0 \\ \\ c'_1(x)y'_1 + c'_2(x)y'_2 = r(x) \end{cases} $$
Nota. También existen otros métodos para hallar una solución particular, como el método de los coeficientes indeterminados, que suele ser más rápido en algunos casos específicos.
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Por último, la solución general de la ecuación diferencial se obtiene sumando la solución homogénea y la solución particular:
$$ y = y_A + y_P $$
Ejemplo resuelto paso a paso
Resolvamos la siguiente ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden:
$$ y'' - 2y' + y = \frac{e^x}{x^4} $$
Comenzamos resolviendo la ecuación homogénea asociada:
$$ y'' - 2y' + y = 0 $$
Para ello planteamos la ecuación característica utilizando una variable auxiliar \( t \):
$$ at^2 + bt + c = 0 $$
Sustituyendo los coeficientes \( a=1 \), \( b=-2 \) y \( c=1 \), obtenemos:
$$ t^2 - 2t + 1 = 0 $$
Calculamos sus raíces:
$$ t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(1)}}{2} $$
$$ t = \frac{2 \pm 0}{2} $$
$$ t = \begin{cases} t_1 = 1 \\ \\ t_2 = 1 \end{cases} $$
Las dos raíces coinciden, por lo que la ecuación tiene una raíz real doble. En este caso, la solución general de la ecuación homogénea es:
$$ y_A = c_1 e^x + c_2 x e^x $$
Ahora buscamos una solución particular de la forma:
$$ y_P = c_1(x)e^x + c_2(x)xe^x $$
Las funciones \( c_1(x) \) y \( c_2(x) \) ya no son constantes, sino funciones de \( x \). Esta es precisamente la idea fundamental del método de variación de parámetros.
Para encontrarlas debemos resolver el sistema:
$$ \begin{cases} c'_1(x)e^x + c'_2(x)xe^x = 0 \\ \\ c'_1(x)D[e^x] + c'_2(x)D[xe^x] = \frac{e^x}{x^4} \end{cases} $$
Importante. Las incógnitas del sistema son las derivadas \( c'_1(x) \) y \( c'_2(x) \), no las funciones \( c_1(x) \) y \( c_2(x) \).
Calculamos las derivadas:
$$ \begin{cases} c'_1(x)e^x + c'_2(x)xe^x = 0 \\ \\ c'_1(x)e^x + c'_2(x)(xe^x + e^x) = \frac{e^x}{x^4} \end{cases} $$
Despejamos \( c'_1(x) \) a partir de la primera ecuación:
$$ \begin{cases} c'_1(x) = \frac{-c'_2(x)xe^x}{e^x} \\ \\ c'_1(x)e^x + c'_2(x)(xe^x + e^x) = \frac{e^x}{x^4} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c'_1(x) = -c'_2(x)x \\ \\ c'_1(x)e^x + c'_2(x)(xe^x + e^x) = \frac{e^x}{x^4} \end{cases} $$
Sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:
$$ \begin{cases} c'_1(x) = -c'_2(x)x \\ \\ (-c'_2(x)x)e^x + c'_2(x)(xe^x + e^x) = \frac{e^x}{x^4} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c'_1(x) = -c'_2(x)x \\ \\ -c'_2(x)xe^x + c'_2(x)xe^x + c'_2(x)e^x = \frac{e^x}{x^4} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c'_1(x) = -c'_2(x)x \\ \\ c'_2(x)e^x = \frac{e^x}{x^4} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c'_1(x) = -c'_2(x)x \\ \\ c'_2(x) = \frac{1}{x^4} \end{cases} $$
Sustituimos ahora el valor de \( c'_2(x) \) en la primera ecuación:
$$ \begin{cases} c'_1(x) = -\left(\frac{1}{x^4}\right)x \\ \\ c'_2(x) = \frac{1}{x^4} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c'_1(x) = -\frac{1}{x^3} \\ \\ c'_2(x) = \frac{1}{x^4} \end{cases} $$
Una vez obtenidas las derivadas, integramos para calcular las funciones \( c_1(x) \) y \( c_2(x) \):
$$ \begin{cases} c_1(x) = \int -\frac{1}{x^3}\,dx \\ \\ c_2(x) = \int \frac{1}{x^4}\,dx \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c_1(x) = \frac{x^{-2}}{2} \\ \\ c_2(x) = \frac{x^{-3}}{-3} \end{cases} $$
Sustituimos estos resultados en la expresión de la solución particular:
$$ y_P = c_1(x)e^x + c_2(x)xe^x $$
$$ y_P = \frac{x^{-2}}{2}e^x + \left(\frac{-x^{-3}}{3}\right)xe^x $$
$$ y_P = \frac{x^{-2}}{2}e^x - \frac{x^{-2}}{3}e^x $$
$$ y_P = \left(\frac{x^{-2}}{2} - \frac{x^{-2}}{3}\right)e^x $$
$$ y_P = \left(\frac{3x^{-2} - 2x^{-2}}{6}\right)e^x $$
$$ y_P = \frac{x^{-2}}{6}e^x $$
$$ y_P = \frac{e^x}{6x^2} $$
Finalmente, sumamos la solución homogénea y la solución particular:
$$ y = y_A + y_P $$
$$ y = [c_1e^x + c_2xe^x] + y_P $$
$$ y = c_1e^x + c_2xe^x + \frac{e^x}{6x^2} $$
Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:
$$ y = c_1e^x + c_2xe^x + \frac{e^x}{6x^2} $$
Con esto queda completamente resuelta la ecuación diferencial.
