Ecuaciones diferenciales de variables separables
Una ecuación diferencial de variables separables es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden en la que la derivada \( y' \) puede escribirse como el producto de dos funciones: una que depende únicamente de \( x \) y otra que depende únicamente de \( y \): $$ y' = f(x)\, g(y) $$
Este tipo de ecuaciones se encuentra entre las más sencillas y fundamentales del cálculo diferencial. Su principal ventaja es que permiten separar las variables y resolver la ecuación mediante integración directa.
El procedimiento general de resolución consta de dos pasos:
- Separar las variables, suponiendo que \( g(y)\neq 0 \). Para ello, se reúnen todos los términos con \( y \) en un miembro y todos los términos con \( x \) en el otro: $$ \frac{dy}{dx} = f(x)\, g(y) $$ $$ \frac{dy}{g(y)} = f(x)\, dx $$
- Integrar ambos miembros respecto de sus variables correspondientes: $$ \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\, dx $$
De esta manera se obtiene la solución general \( y(x) \), válida en los intervalos donde \( g(y)\neq 0 \).
Además de la solución general, es importante comprobar si existen soluciones constantes, como por ejemplo \( y=0 \), ya que estas deben estudiarse por separado.
¿Qué son las soluciones constantes? Las soluciones constantes, también llamadas soluciones triviales o soluciones de equilibrio, corresponden a valores constantes de \( y \) para los cuales se cumple \( y'=0 \). Como \( y'=f(x)g(y) \), la condición \( y'=0 \) obliga a que \( g(y)=0 \). Por ello, para encontrar soluciones constantes basta con resolver la ecuación \( g(y)=0 \). Si existen tales valores, deben añadirse al conjunto completo de soluciones.
Ejemplos
Ejemplo 1
Consideremos la ecuación diferencial:
$$ y' = 2xy^2 $$
Esta ecuación es separable porque puede escribirse como el producto de una función de \( x \) y otra de \( y \): \( f(x)=2x \), \( g(y)=y^2 \).
Expresamos la derivada en notación de Leibniz:
$$ \frac{dy}{dx} = 2xy^2 $$
Ahora separamos las variables:
$$ \frac{dy}{y^2} = 2x\, dx $$
Integramos ambos miembros:
$$ \int y^{-2}\, dy = \int 2x\, dx $$
Calculando las primitivas:
$$ -\frac{1}{y} = x^2 + c $$
Despejamos \( y \):
$$ y = -\frac{1}{x^2 + c} $$
Esta expresión representa la solución general de la ecuación diferencial.
También debemos considerar la solución constante:
$$ y(x)=0 $$
Nota. La solución constante aparece porque \( g(y)=y^2 \) se anula cuando \( y=0 \). En efecto, $$ y' = 2x \cdot 0^2 = 0 $$ por lo que la ecuación se satisface identicamente.
Por tanto, el conjunto completo de soluciones es:
$$ y(x) = -\frac{1}{x^2 + c} \quad \text{o} \quad y(x)=0 $$
Ejemplo 2
Resolver la ecuación:
$$ y' = \frac{\cos x}{\cos y} $$
Identificamos las funciones:
$$ f(x)=\cos x \qquad g(y)=\frac{1}{\cos y} $$
En forma diferencial:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{\cos y} $$
Separamos las variables:
$$ \cos y\, dy = \cos x\, dx $$
Integramos ambos miembros:
$$ \int \cos y\, dy = \int \cos x\, dx $$
Evaluando las integrales:
$$ \sin y = \sin x + c $$
Aplicamos la función arco seno para despejar \( y \):
$$ y = \arcsin(\sin x + c) $$
Por consiguiente, la solución general es:
$$ y(x)=\arcsin(\sin x + c) $$
Nota. En este caso no existen soluciones constantes, ya que \( g(y)=1/\cos y \) nunca se anula. Por ello, la derivada no puede hacerse cero a causa del término \( g(y) \).
Ejemplo 3
Consideremos ahora la ecuación diferencial:
$$ y' = \frac{x+1}{3y^2} $$
También se trata de una ecuación separable.
Escribimos primero la derivada en forma diferencial:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x+1}{3y^2} $$
Separamos las variables:
$$ 3y^2\, dy = (x+1)\, dx $$
Integramos ambos miembros:
$$ \int 3y^2\, dy = \int (x+1)\, dx $$
Calculando las primitivas:
$$ y^3 = \frac{x^2}{2} + x + c $$
Despejando \( y \):
$$ y = \sqrt[3]{\frac{x^2}{2} + x + c} $$
Esta expresión constituye la solución general de la ecuación.
Nota. En este caso tampoco existen soluciones constantes, ya que \( g(y)=\frac{1}{3y^2} \) no se anula para ningún valor real de \( y \).
Ejemplo 4
Consideremos finalmente la ecuación:
$$ y' = \sin(x)\, e^y $$
Identificamos las funciones:
$$ f(x)=\sin x \qquad g(y)=e^y $$
Reescribimos la ecuación en forma diferencial:
$$ \frac{dy}{dx} = \sin(x)\, e^y $$
Separamos las variables:
$$ \frac{dy}{e^y} = \sin(x)\, dx \quad \Rightarrow \quad e^{-y}\, dy = \sin(x)\, dx $$
Integramos ambos miembros:
$$ \int e^{-y}\, dy = \int \sin(x)\, dx $$
Calculando las integrales:
$$ -e^{-y} = -\cos(x) + c $$
Multiplicamos ambos lados por \(-1\):
$$ e^{-y} = \cos(x) + c $$
Aplicamos el logaritmo natural:
$$ -y = \ln[\cos(x) + c] $$
Finalmente obtenemos:
$$ y(x) = -\ln[\cos(x) + c] $$
Nota. No existen soluciones constantes porque la función exponencial \( e^y \) es siempre positiva y nunca puede anularse.
Observaciones adicionales
- Las ecuaciones diferenciales de variables separables constituyen una de las clases más importantes y elementales de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
- Las ecuaciones diferenciales autónomas de la forma $$ u' = g(u) $$ son un caso particular de ecuaciones separables, ya que pueden escribirse como $$ u' = 1 \cdot g(u) $$ donde la función constante \( f(t)=1 \) aparece de manera implícita.
Y así sucesivamente.
