Ecuaciones diferenciales homogéneas de la forma y' = P/Q
Una clase importante de ecuaciones diferenciales de primer orden puede escribirse en la forma $$ y' = \frac{P(x,y)}{Q(x,y)} $$ donde \( P \) y \( Q \) son polinomios homogéneos del mismo grado.
Este tipo de ecuaciones aparece con frecuencia en análisis matemático y, en muchos casos, no puede resolverse directamente mediante separación de variables ni utilizando el método del factor integrante. Sin embargo, existe una técnica muy eficaz basada en la introducción de una variable auxiliar.
La sustitución más utilizada es:
$$ t = \frac{y}{x} $$
Gracias a este cambio de variable, la ecuación original puede transformarse en otra más sencilla, normalmente resoluble mediante separación de variables.
Para ello, expresamos la función incógnita \( y \) en términos de \( t \) y \( x \):
$$ y = t \cdot x $$
Ahora derivamos respecto de \( x \):
$$ y' = D_x[t \cdot x] = t'x + t $$
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación diferencial original obtenemos:
$$ y' = \frac{P(x,y)}{Q(x,y)} $$
$$ t'x + t = \frac{P(x,tx)}{Q(x,tx)} $$
La nueva ecuación ya está planteada en función de \( t \) y \( x \), por lo que podemos intentar resolverla mediante el método de separación de variables.
Una vez obtenida la solución general en términos de \( t \), basta sustituir nuevamente \( t = y/x \) para regresar a la variable original.
Ejemplo resuelto paso a paso
Veamos ahora cómo se aplica este método en un caso concreto.
Consideremos la ecuación diferencial:
$$ xyy' = x^2 + y^2 $$
Lo primero es despejar \( y' \). Para ello dividimos ambos miembros entre \( xy \):
$$ \frac{xyy'}{xy} = \frac{x^2 + y^2}{xy} $$
$$ y' = \frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} $$
$$ y' = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} $$
Observa que el segundo miembro depende únicamente de la razón entre \( x \) e \( y \). Esto confirma que estamos ante una ecuación homogénea.
Introducimos entonces la variable auxiliar:
$$ t = \frac{y}{x} $$
Reescribimos la ecuación:
$$ y' = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} $$
$$ y' = \frac{1}{t} + t $$
Ahora expresamos \( y \) en función de \( t \) y \( x \):
$$ y = t \cdot x $$
y derivamos ambos miembros respecto de \( x \):
$$ D_x[y] = D_x[t \cdot x] $$
$$ y' = t'x + t $$
Sustituimos esta expresión en la ecuación:
$$ y' = \frac{1}{t} + t $$
$$ t'x + t = \frac{1}{t} + t $$
Restamos \( t \) en ambos miembros:
$$ t'x = \frac{1}{t} $$
Escribimos ahora \( t' \) en forma diferencial:
$$ \frac{dt}{dx} \cdot x = \frac{1}{t} $$
En este punto ya podemos aplicar la separación de variables.
Reordenamos los términos:
$$ t \cdot dt = \frac{1}{x} \cdot dx $$
Integramos ambos miembros:
$$ \int t \cdot dt = \int \frac{1}{x} \cdot dx $$
La integral del segundo miembro es:
$$ \int t \cdot dt = \log(x) + c $$
Mientras que la integral del primer miembro da:
$$ \frac{t^2}{2} = \log(x) + c $$
Multiplicamos ambos miembros por 2:
$$ t^2 = 2 \cdot \log(x) + c $$
Finalmente, sustituimos de nuevo \( t = y/x \):
$$ \left(\frac{y}{x}\right)^2 = 2 \cdot \log(x) + c $$
$$ \frac{y^2}{x^2} = 2 \cdot \log(x) + c $$
$$ y^2 = x^2 \cdot [2 \log(x) + c] $$
$$ y^2 = 2x^2 \cdot \log(x) + c \cdot x^2 $$
Tomamos la raíz cuadrada en ambos miembros:
$$ \sqrt{y^2} = \sqrt{2x^2 \cdot \log(x) + c \cdot x^2} $$
$$ y = \sqrt{2x^2 \cdot \log(x) + c \cdot x^2} $$
Esta expresión representa la solución general de la ecuación diferencial homogénea.
Y así sucesivamente.
