Método del factor integrante

El método del factor integrante es una de las técnicas más utilizadas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden. Se aplica a ecuaciones de la forma $$ y' + A(x)\, y = B(x) $$ La idea consiste en multiplicar toda la ecuación por una función especialmente elegida, llamada factor integrante:

$$ M(x) = e^{\int A(x)\, dx} $$

Gracias a esta transformación, el miembro izquierdo de la ecuación puede reescribirse como la derivada de un producto. De este modo, la ecuación se vuelve mucho más sencilla de integrar.

El procedimiento se basa en aplicar en sentido inverso la regla del producto o del cociente:

$$ f'g + fg' = (f \cdot g)' $$

$$ \frac{f'g - fg'}{g^2} = \left( \frac{f}{g} \right)' $$

Una vez obtenida una derivada exacta, basta integrar respecto de \( x \) para encontrar la solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo resuelto paso a paso

Consideremos la ecuación diferencial:

$$ y' - \frac{2y}{x} = 0 $$

Esta ecuación es una ecuación lineal homogénea de primer orden y puede escribirse en la forma estándar \( y' + A(x)\, y = B(x) \), donde:

$$ A(x) = -\frac{2}{x} $$

$$ B(x) = 0 $$

El primer paso consiste en calcular el factor integrante:

$$ M(x) = e^{\int A(x)\, dx} $$

Sustituyendo \( A(x) \):

$$ M(x) = e^{\int -\frac{2}{x}\, dx} $$

Extraemos la constante:

$$ M(x) = e^{-2 \int \frac{1}{x}\, dx} $$

Como:

$$ \int \frac{1}{x}\, dx = \log x $$

obtenemos:

$$ M(x) = e^{-2 \log x} $$

Aplicando las propiedades de los logaritmos y exponentes:

$$ M(x) = x^{-2} $$

Es decir:

$$ M(x) = \frac{1}{x^2} $$

Ahora multiplicamos toda la ecuación diferencial por el factor integrante:

$$ \left[ y' - \frac{2y}{x} \right] \cdot \frac{1}{x^2} = 0 $$

Distribuyendo el producto:

$$ \frac{y'}{x^2} - \frac{2y}{x^3} = 0 $$

Llevamos ambos términos al mismo denominador:

$$ \frac{y' x^3 - 2y x^2}{x^5} = 0 $$

Factorizamos \( x \) en el numerador:

$$ \frac{x (y' x^2 - 2y x)}{x^5} = 0 $$

Y simplificamos:

$$ \frac{y' x^2 - 2y x}{x^4} = 0 $$

La expresión obtenida corresponde exactamente a la derivada del cociente:

$$ \left( \frac{y}{x^2} \right)' = 0 $$

Este paso surge de aplicar en sentido inverso la regla del cociente, tomando:

$$ f = y $$

$$ g = x^2 $$

Integramos ahora ambos miembros respecto de \( x \):

$$ \int \left( \frac{y}{x^2} \right)' dx = \int 0 \, dx $$

Al integrar obtenemos:

$$ \frac{y}{x^2} = c $$

Finalmente, despejamos \( y \):

$$ y = c \cdot x^2 $$

Esta es la solución general de la ecuación diferencial.

Y así sucesivamente.