Método del wronskiano para ecuaciones diferenciales de segundo orden
Cómo utilizar el método del wronskiano para encontrar soluciones particulares de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden
El método del wronskiano, también conocido como método de variación de parámetros, es una herramienta muy útil para calcular una solución particular de una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden. Se aplica a ecuaciones de la forma:
$$ y'' + a(x)y' + b(x)y = f(x) $$
La idea consiste en partir de la solución general de la ecuación homogénea asociada y sustituir las constantes por funciones que deben determinarse.
Si la ecuación homogénea asociada tiene por solución general:
$$ y_o = c_1 v_1(x) + c_2 v_2(x) $$
entonces se busca una solución particular de la ecuación no homogénea en la forma:
$$ y_p = c_1(x) v_1(x) + c_2(x) v_2(x) $$
donde \( c_1(x) \) y \( c_2(x) \) son funciones que se obtienen mediante las expresiones:
$$ c_1(x) = - \int v_2(x)\frac{f(x)}{W(x)}\,dx $$
$$ c_2(x) = \int v_1(x)\frac{f(x)}{W(x)}\,dx $$
La función \( W(x) \) recibe el nombre de wronskiano de \( v_1 \) y \( v_2 \) y se calcula mediante:
$$ W(x)=v_1(x)v_2'(x)-v_2(x)v_1'(x) $$
El wronskiano desempeña un papel fundamental porque permite verificar que las soluciones \( v_1 \) y \( v_2 \) son linealmente independientes y aparece de forma natural al resolver el sistema que determina las funciones \( c_1(x) \) y \( c_2(x) \).
Nota. Las funciones \( c_1(x) \) y \( c_2(x) \) se obtienen a partir del sistema: $$ \begin{cases} c_1'(x)v_1+c_2'(x)v_2=0 \\ \\ c_1'(x)v_1'+c_2'(x)v_2'=f(x) \end{cases} $$ La matriz de coeficientes es: $$ \begin{pmatrix} v_1 & v_2 \\ v_1' & v_2' \end{pmatrix} $$ y su determinante coincide con el wronskiano: $$ W(x)=v_1(x)v_2'(x)-v_2(x)v_1'(x) $$
Ejemplo resuelto paso a paso
Veamos cómo aplicar el método a la siguiente ecuación diferencial:
$$ y'' - 2y' - 3y = \frac{4x - 1}{x^2} e^{3x} $$
Antes de calcular la solución particular, necesitamos resolver la ecuación homogénea asociada:
$$ y'' - 2y' - 3y = 0 $$
Su ecuación característica es:
$$ z^2 - 2z - 3 = 0 $$
Las raíces son:
$$ z = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 + 4 \cdot 3}}{2} = \begin{cases} z_1=-1 \\ \\ z_2=3 \end{cases} $$
Como se obtienen dos raíces reales distintas, la solución general de la ecuación homogénea es:
$$ y_o=c_1e^{-x}+c_2e^{3x} $$
Las dos soluciones independientes son:
$$ v_1=e^{-x} $$
$$ v_2=e^{3x} $$
Por tanto, buscamos una solución particular de la forma:
$$ y_p=c_1(x)e^{-x}+c_2(x)e^{3x} $$
Cálculo del wronskiano
El primer paso consiste en calcular el wronskiano de las soluciones de la ecuación homogénea:
$$ W(x)=e^{-x}\frac{d}{dx}(e^{3x})-e^{3x}\frac{d}{dx}(e^{-x}) $$
$$ W(x)=e^{-x}(3e^{3x})-e^{3x}(-e^{-x}) $$
$$ W(x)=3e^{2x}+e^{2x} $$
$$ W(x)=4e^{2x} $$
Cálculo de las funciones \( c_1(x) \) y \( c_2(x) \)
Sustituyendo \( f(x)=\frac{4x-1}{x^2}e^{3x} \) y \( W(x)=4e^{2x} \) en las fórmulas del método:
$$ \begin{cases} c_1(x)=-\int e^{3x}\cdot\frac{\frac{4x-1}{x^2}e^{3x}}{4e^{2x}}\,dx \\ \\ c_2(x)=\int e^{-x}\cdot\frac{\frac{4x-1}{x^2}e^{3x}}{4e^{2x}}\,dx \end{cases} $$
Tras simplificar:
$$ \begin{cases} c_1(x)=-\int \frac{4x-1}{4x^2}e^{4x}\,dx \\ \\ c_2(x)=\int \frac{4x-1}{4x^2}\,dx \end{cases} $$
Para la primera integral observamos que:
$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{e^{4x}}{4x}\right)=\frac{4xe^{4x}-e^{4x}}{4x^2}=\frac{4x-1}{4x^2}e^{4x} $$
Por tanto:
$$ c_1(x)=-\frac{e^{4x}}{4x} $$
Para la segunda integral descomponemos el integrando:
$$ \frac{4x-1}{4x^2}=\frac{1}{x}-\frac{1}{4x^2} $$
y obtenemos:
$$ c_2(x)=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{4x^2}\right)dx $$
$$ c_2(x)=\log|x|+\frac{1}{4x} $$
En consecuencia:
$$ \begin{cases} c_1(x)=-\frac{e^{4x}}{4x} \\ \\ c_2(x)=\frac{1}{4x}+\log|x| \end{cases} $$
Obtención de la solución particular
Sustituyendo las funciones obtenidas en la expresión de \( y_p \):
$$ y_p=c_1(x)e^{-x}+c_2(x)e^{3x} $$
$$ y_p=-\frac{e^{4x}}{4x}e^{-x}+\left(\frac{1}{4x}+\log|x|\right)e^{3x} $$
$$ y_p=-\frac{e^{3x}}{4x}+\frac{e^{3x}}{4x}+e^{3x}\log|x| $$
$$ y_p=e^{3x}\log|x| $$
Solución general
La solución general de la ecuación diferencial es la suma de la solución homogénea y la solución particular:
$$ y=y_o+y_p $$
$$ y=c_1e^{-x}+c_2e^{3x}+e^{3x}\log|x| $$
donde \( c_1 \) y \( c_2 \) son constantes reales arbitrarias.
El método del wronskiano es especialmente útil cuando otros procedimientos para encontrar una solución particular resultan difíciles de aplicar. Una vez conocidas dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea, permite construir sistemáticamente una solución de la ecuación no homogénea.
