Ejercicio resuelto 22 de ecuaciones diferenciales
Vamos a resolver paso a paso la siguiente ecuación diferencial:
$$ y'' + 3y = x + 2 \cos(x) $$
Se trata de una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden.
El segundo miembro contiene dos tipos de funciones diferentes: un término polinómico, \( x \), y un término trigonométrico, \( 2\cos(x) \). Esta combinación permite aplicar de forma directa el método de los coeficientes indeterminados junto con el principio de superposición.
La resolución se divide en tres etapas: primero se obtiene la solución de la ecuación homogénea, después se calcula una solución particular y, por último, se construye la solución general.
1] Resolver la ecuación homogénea asociada
Comenzamos con la ecuación homogénea:
$$ y'' + 3y = 0 $$
La ecuación característica asociada es:
$$ z^2 + 3 = 0 $$
Resolviendo esta ecuación obtenemos dos raíces complejas conjugadas:
$$ z = \pm i\sqrt{3} $$
Estas raíces tienen la forma \( z = \alpha \pm i\beta \), donde:
$$ \alpha = 0, \qquad \beta = \sqrt{3} $$
Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea es:
$$ y_o = c_1 \cos(\sqrt{3}x) + c_2 \sin(\sqrt{3}x) $$
2] Calcular una solución particular
La ecuación original puede escribirse como:
$$ y'' + 3y = x + 2\cos(x) $$
Como el segundo miembro es una suma, podemos aplicar el principio de superposición. Esto significa que buscaremos una solución particular para cada término por separado y luego las sumaremos.
Consideramos las ecuaciones:
$$ y'' + 3y = x $$
$$ y'' + 3y = 2\cos(x) $$
2.1] Solución particular para el término polinómico
Analicemos primero la ecuación:
$$ y'' + 3y = x $$
Dado que el segundo miembro es un polinomio de primer grado, proponemos una solución particular de la forma:
$$ y_{p1} = A + Bx $$
Calculamos sus derivadas:
$$ y'_{p1} = B $$
$$ y''_{p1} = 0 $$
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
$$ 0 + 3(A + Bx) = x $$
Desarrollando:
$$ 3A + 3Bx = x $$
Ahora igualamos los coeficientes de ambos miembros:
$$ \begin{cases} 3A = 0 \\ 3B = 1 \end{cases} $$
De donde obtenemos:
$$ \begin{cases} A = 0 \\ B = \frac{1}{3} \end{cases} $$
Por tanto, la primera solución particular es:
$$ y_{p1} = \frac{x}{3} $$
2.2] Solución particular para el término trigonométrico
Pasemos ahora a la ecuación:
$$ y'' + 3y = 2\cos(x) $$
Proponemos una solución particular de la forma:
$$ y_{p2} = A\cos(x) + B\sin(x) $$
Antes de continuar, debemos comprobar que esta forma no coincide con ninguna solución de la ecuación homogénea. Para ello verificamos que \( \pm i \) no son raíces de la ecuación característica.
En efecto:
$$ i^2 + 3 = -1 + 3 = 2 \neq 0 $$
Por lo tanto, la propuesta es válida.
Calculamos las derivadas:
$$ y'_{p2} = -A\sin(x) + B\cos(x) $$
$$ y''_{p2} = -A\cos(x) - B\sin(x) $$
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
$$ (-A\cos(x)-B\sin(x)) + 3(A\cos(x)+B\sin(x)) = 2\cos(x) $$
Agrupando términos semejantes:
$$ 2A\cos(x) + 2B\sin(x) = 2\cos(x) $$
Igualando coeficientes obtenemos:
$$ \begin{cases} 2A = 2 \\ 2B = 0 \end{cases} $$
Por consiguiente:
$$ \begin{cases} A = 1 \\ B = 0 \end{cases} $$
La segunda solución particular es:
$$ y_{p2} = \cos(x) $$
2.3] Solución particular completa
Sumamos las dos soluciones particulares obtenidas:
$$ y_p = y_{p1} + y_{p2} $$
$$ y_p = \frac{x}{3} + \cos(x) $$
Esta es una solución particular de la ecuación diferencial original.
3] Obtener la solución general
La solución general se obtiene sumando la solución homogénea y la solución particular:
$$ y = y_o + y_p $$
Sustituyendo los resultados calculados:
$$ y = c_1\cos(\sqrt{3}x) + c_2\sin(\sqrt{3}x) + \frac{x}{3} + \cos(x) $$
Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:
$$ y = c_1\cos(\sqrt{3}x) + c_2\sin(\sqrt{3}x) + \frac{x}{3} + \cos(x) $$
