Ejercicio resuelto 19 de ecuaciones diferenciales

Resolvamos paso a paso la siguiente ecuación diferencial:

$$ y'' + 4y'+13y = \sin 3x $$

Se trata de una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden. Para encontrar su solución general, debemos sumar la solución de la ecuación homogénea asociada y una solución particular de la ecuación completa.

En otras palabras:

$$ y = y_h + y_p $$

donde \( y_h \) es la solución general de la ecuación homogénea y \( y_p \) es una solución particular de la ecuación no homogénea.

Comenzaremos resolviendo la ecuación homogénea asociada. Después encontraremos una solución particular y, finalmente, construiremos la solución general del problema.

Resolver la ecuación homogénea asociada

La ecuación homogénea asociada se obtiene eliminando el término del segundo miembro:

$$ y'' + 4y'+13y = 0 $$

Para resolverla, planteamos la ecuación característica:

$$ t^2 + 4t +13 = 0 $$

Calculamos ahora sus raíces:

$$ t = \frac{-4 \pm \sqrt{16-52}}{2} $$

$$ t = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} $$

$$ t = \frac{-4 \pm \sqrt{36i^2}}{2} $$

Nota: Cuando aparece la raíz cuadrada de un número negativo, utilizamos los números complejos. Como \( -36 = 36i^2 \), podemos simplificar el radical sin dificultad.

$$ t = \frac{-4 \pm i\sqrt{36}}{2} $$

$$ t = \frac{-4 \pm 6i}{2} $$

$$ t = -2 \pm 3i $$

$$ t = \begin{cases} t_1 = -2-3i \\ \\ t_2 = -2+3i \end{cases} $$

Las raíces son complejas conjugadas y tienen la forma \( \alpha \pm i\beta \), donde:

$$ \alpha = -2 \qquad \beta = 3 $$

Cuando la ecuación característica tiene este tipo de raíces, la solución general de la ecuación homogénea es:

$$ y_h = e^{\alpha x}\,[c_1\cos(\beta x)+c_2\sin(\beta x)] $$

Sustituyendo los valores de \( \alpha \) y \( \beta \):

$$ y_h = e^{-2x}\,[c_1\cos(3x)+c_2\sin(3x)] $$

Ya hemos obtenido la solución general de la parte homogénea.

Encontrar una solución particular

Ahora debemos hallar una solución particular de la ecuación completa:

$$ y'' + 4y'+13y = \sin 3x $$

Como el término no homogéneo es una función seno, resulta adecuado utilizar el método de los coeficientes indeterminados.

Según este método, proponemos una solución de la forma:

$$ y_p = A\sin(3x)+B\cos(3x) $$

donde \( A \) y \( B \) son constantes desconocidas que debemos determinar.

Calculamos sus derivadas:

$$ y'_p = D_x[A\sin(3x)+B\cos(3x)] = 3A\cos(3x)-3B\sin(3x) $$

$$ y''_p = D_x[3A\cos(3x)-3B\sin(3x)] = -9A\sin(3x)-9B\cos(3x) $$

Sustituimos ahora \( y_p \), \( y'_p \) y \( y''_p \) en la ecuación diferencial:

$$ y'' + 4y'+13y = \sin(3x) $$

Obtenemos:

$$ [-9A\sin(3x)-9B\cos(3x)] + 4[3A\cos(3x)-3B\sin(3x)] + 13[A\sin(3x)+B\cos(3x)] = \sin(3x) $$

A continuación agrupamos los términos semejantes:

$$ \sin(3x)\,[ -9A -12B +13A ] + \cos(3x)\,[ -9B +12A +13B ] = \sin(3x) $$

$$ \sin(3x)\,[ 4A -12B ] + \cos(3x)\,[ 4B +12A ] = \sin(3x) $$

Para que la igualdad sea cierta para cualquier valor de \( x \), los coeficientes de las funciones seno y coseno deben coincidir en ambos miembros. Por tanto:

$$ \begin{cases} 4A - 12B = 1 \\ \\ 4B + 12A = 0 \end{cases} $$

Interpretación: En el segundo miembro aparece únicamente la función \( \sin(3x) \). Por eso, su coeficiente debe ser 1, mientras que el coeficiente de \( \cos(3x) \) debe ser necesariamente cero.

Resolvemos el sistema mediante sustitución:

$$ \begin{cases} 4A-12B = 1 \\ \\ B=-3A \end{cases} $$

Sustituyendo \( B=-3A \) en la primera ecuación:

$$ 4A - 12(-3A) = 1 $$

$$ 40A = 1 $$

$$ A = \frac{1}{40} $$

$$ B = -\frac{3}{40} $$

Ya podemos escribir la solución particular:

$$ y_p = \frac{1}{40}\sin(3x)-\frac{3}{40}\cos(3x) $$

Escribir la solución general

El último paso consiste en sumar la solución homogénea y la solución particular:

$$ y = y_h + y_p $$

Sustituyendo las expresiones obtenidas:

$$ y = e^{-2x}\,[c_1\cos(3x)+c_2\sin(3x)] + \frac{1}{40}\sin(3x)-\frac{3}{40}\cos(3x) $$

Por tanto, esta es la solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden propuesta.