Ejercicio resuelto 21 de ecuaciones diferenciales
Se desea resolver la siguiente ecuación diferencial:
$$ y'' - y = 2x \sin(x) $$
Se trata de una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden.
El término no homogéneo tiene la forma Q(x)sin(βx), por lo que resulta apropiado utilizar el método de los coeficientes indeterminados.
La resolución se llevará a cabo en tres etapas.
1] Resolución de la ecuación homogénea asociada
Comenzamos determinando la solución general de la ecuación homogénea asociada:
$$ y'' - y = 0 $$
Introducimos una variable auxiliar y planteamos la ecuación característica:
$$ t^2 - 1 = 0 $$
Esta ecuación posee dos raíces reales distintas, \( t_1 = -1 \) y \( t_2 = 1 \).
$$ t^2 = 1 $$
$$ \sqrt{t^2} = \sqrt{1} $$
$$ t = \begin{cases} t_1 = -1 \\ \\ t_2 = 1 \end{cases} $$
Como las raíces son reales y diferentes, la solución general de la ecuación homogénea viene dada por:
$$ y_o = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} $$
donde λ1 = -1 y λ2 = 1.
Por consiguiente:
$$ y_o = c_1 e^{-x} + c_2 e^{x} $$
Esta expresión constituye la solución homogénea.
El siguiente paso consiste en obtener una solución particular de la ecuación no homogénea.
2] Obtención de una solución particular
Para hallar una solución particular aplicamos el método de los coeficientes indeterminados.
El segundo miembro tiene la forma Q(x)sin(βx), donde Q(x) = 2x y β = 1.
En primer lugar, comprobamos si \( i\beta \) es una raíz de la ecuación característica:
$$ t^2 - 1 = 0 $$
$$ (i\beta)^2 - 1 = 0 $$
$$ (i \cdot 1)^2 - 1 = 0 $$
$$ i^2 - 1 = -1 - 1 = -2 \neq 0 $$
Puesto que \( i\beta \) no es una raíz de la ecuación característica, la solución particular tendrá la forma:
$$ y_p = R(x) \cos(\beta x) + S(x) \sin(\beta x) $$
Al sustituir β = 1 obtenemos:
$$ y_p = R(x) \cos(x) + S(x) \sin(x) $$
Como Q(x) = 2x es un polinomio de grado 1, suponemos que R(x) = A + Bx y S(x) = C + Dx, ambos polinomios de primer grado:
$$ y_p = (A + Bx)\cos(x) + (C + Dx)\sin(x) $$
Las constantes A, B, C y D deberán determinarse.
Calculamos ahora la primera derivada de \( y_p \):
$$ y'_p = D_x \left[ (A + Bx)\cos(x) + (C + Dx)\sin(x) \right] $$
Aplicando la regla del producto:
$$ y'_p = B\cos(x) - (A + Bx)\sin(x) + D\sin(x) + (C + Dx)\cos(x) $$
A continuación calculamos la segunda derivada:
$$ y''_p = D_x \left[ B\cos(x) - (A + Bx)\sin(x) + D\sin(x) + (C + Dx)\cos(x) \right] $$
Tras derivar y simplificar, obtenemos:
$$ y''_p = -2B\sin(x) + 2D\cos(x) - (A + Bx)\cos(x) - (C + Dx)\sin(x) $$
Ahora sustituimos \( y_p \) y \( y''_p \) en la ecuación diferencial original:
$$ y'' - y = 2x \sin(x) $$
Por tanto:
$$ y''_p - y_p = 2x \sin(x) $$
Sustituyendo las expresiones obtenidas:
$$ [-2B\sin(x) + 2D\cos(x) - (A + Bx)\cos(x) - (C + Dx)\sin(x)] - [(A + Bx)\cos(x) + (C + Dx)\sin(x)] = 2x\sin(x) $$
Agrupando los términos que acompañan a las mismas funciones trigonométricas:
$$ \sin(x)[-2B - 2C - 2Dx] + \cos(x)[2D - 2A - 2Bx] = 2x\sin(x) $$
Igualamos ahora los coeficientes de \( \sin(x) \) y \( \cos(x) \) en ambos miembros:
$$ \begin{cases} -2B - 2C - 2Dx = 2x \\ \\ 2D - 2A - 2Bx = 0 \end{cases} $$
Nota: El coeficiente de \( \sin(x) \) en el miembro izquierdo es \( -2B - 2C - 2Dx \), mientras que en el miembro derecho es \( 2x \). Del mismo modo, el coeficiente de \( \cos(x) \) en el miembro izquierdo es \( 2D - 2A - 2Bx \), mientras que en el miembro derecho es 0.
Igualando los coeficientes correspondientes a las mismas potencias de \( x \), obtenemos el siguiente sistema:
$$ \begin{cases} -2D = 2 \\ -2B - 2C = 0 \\ -2B = 0 \\ 2D - 2A = 0 \end{cases} $$
Nota: La primera ecuación se obtiene al comparar los coeficientes de \( x \) en la expresión asociada a \( \sin(x) \). Las demás proceden de la igualdad entre los términos independientes.
Resolvemos ahora el sistema:
De \( -2D = 2 \) se deduce:
$$ D = -1 $$
De \( -2B = 0 \) obtenemos:
$$ B = 0 $$
Sustituyendo este resultado en \( -2B - 2C = 0 \), se obtiene:
$$ C = 0 $$
Por último, de \( 2D - 2A = 0 \) se concluye que:
$$ A = -1 $$
Sustituimos estos valores en la expresión de la solución particular:
$$ y_p = (A + Bx)\cos(x) + (C + Dx)\sin(x) $$
$$ y_p = (-1)\cos(x) + (-x)\sin(x) $$
Por tanto, la solución particular es:
$$ y_p = -\cos(x) - x\sin(x) $$
3] Solución general de la ecuación diferencial
La solución general se obtiene sumando la solución homogénea y la solución particular:
$$ y = y_o + y_p $$
Sabemos que:
$$ y_o = c_1 e^{-x} + c_2 e^{x} $$
y que:
$$ y_p = -\cos(x) - x\sin(x) $$
En consecuencia, la solución general de la ecuación diferencial es:
$$ y = c_1 e^{-x} + c_2 e^{x} - \cos(x) - x \sin(x) $$
donde \( c_1 \) y \( c_2 \) son constantes reales arbitrarias.
Con esto queda completamente resuelta la ecuación diferencial planteada.
