Ejercicio 18 de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden
Vamos a resolver paso a paso la siguiente ecuación diferencial:
$$ y'' - 2y' - 3y = e^{4x} $$
Se trata de una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden, ya que contiene una función distinta de cero en el segundo miembro.
El primer paso consiste en resolver la ecuación homogénea asociada:
$$ ay'' + by' + cy = 0 $$
En este caso, los coeficientes son \( a = 1 \), \( b = -2 \) y \( c = -3 \), por lo que obtenemos:
$$ y'' - 2y' - 3y = 0 $$
Para resolverla, construimos la ecuación característica utilizando una variable auxiliar \( t \):
$$ t^2 - 2t - 3 = 0 $$
Calculamos ahora el discriminante:
$$ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 16 $$
Como el discriminante es positivo, la ecuación característica tiene dos raíces reales distintas:
$$ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2} = \begin{cases} t_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \\ \\ t_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \end{cases} $$
Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea es:
$$ y_h = c_1 e^{-x} + c_2 e^{3x} $$
Una vez obtenida la solución homogénea, buscamos una solución particular \( y_p \) de la ecuación completa mediante el método de los coeficientes indeterminados.
El término no homogéneo es una función exponencial:
$$ f(x) = e^{4x} $$
Dado que \( \lambda = 4 \) no es una raíz de la ecuación característica \( \lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0 \), proponemos una solución particular de la forma:
$$ y_p = A e^{4x} $$
Calculamos sus derivadas:
$$ y_p' = D_x[A e^{4x}] = 4A e^{4x} $$
$$ y_p'' = D_x[4A e^{4x}] = 16A e^{4x} $$
Sustituimos estas expresiones en la ecuación diferencial original:
$$ y'' - 2y' - 3y = e^{4x} $$
$$ 16A e^{4x} - 2(4A e^{4x}) - 3(A e^{4x}) = e^{4x} $$
$$ (16A - 8A - 3A)e^{4x} = e^{4x} $$
$$ 5A e^{4x} = e^{4x} $$
Dividimos ambos miembros por \( e^{4x} \):
$$ 5A = 1 $$
Despejando la constante, obtenemos:
$$ A = \frac{1}{5} $$
Por consiguiente, la solución particular es:
$$ y_p = \frac{1}{5}e^{4x} $$
Finalmente, sumamos la solución homogénea y la solución particular:
$$ y = y_h + y_p $$
$$ y = c_1 e^{-x} + c_2 e^{3x} + \frac{e^{4x}}{5} $$
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:
$$ y = c_1 e^{-x} + c_2 e^{3x} + \frac{e^{4x}}{5} $$
De esta forma queda resuelta la ecuación diferencial. El procedimiento ilustra cómo combinar la solución de la ecuación homogénea con una solución particular obtenida mediante el método de los coeficientes indeterminados.
