Ecuación diferencial de primer orden - Ejercicio 9
Resolvamos la siguiente ecuación diferencial ordinaria de primer orden:
$$ y' + y = 0 $$
Se trata de una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden. Aunque es un problema sencillo, resulta muy útil porque permite aplicar dos de los métodos más importantes para resolver ecuaciones diferenciales: la separación de variables y el método del factor integrante.
Método 1: Separación de variables
La ecuación puede escribirse en la forma y' + f(x)g(y) = 0, donde \( f(x) = 1 \) y \( g(y) = y \). Como las variables pueden separarse, podemos utilizar el método de separación de variables.
Comenzamos despejando la derivada:
$$ y' = -y $$
Expresamos ahora la derivada en forma diferencial:
$$ \frac{dy}{dx} = -y $$
Separamos las variables para reunir todos los términos con \( y \) en un lado de la ecuación y los términos con \( x \) en el otro:
$$ \frac{dy}{y} = -dx $$
Integramos ambos miembros:
$$ \int \frac{1}{y} \, dy = \int -1 \, dx $$
Al resolver las integrales obtenemos:
$$ \log y = -x + c $$
Para despejar la función \( y \), aplicamos la función exponencial a ambos lados:
$$ e^{\log y} = e^{-x + c} $$
$$ y = e^{-x} \cdot e^c $$
Dado que \( e^c \) es una constante positiva, podemos reemplazarla por una nueva constante arbitraria \( c \):
$$ y = c \cdot e^{-x} $$
Esta es la solución general de la ecuación diferencial.
Método 2: Ecuación lineal de primer orden
La misma ecuación también puede analizarse como una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma:
$$ y' + a(x)y = b(x) $$
En este caso:
$$ a(x) = 1 $$
$$ b(x) = 0 $$
Por tanto, podemos aplicar el método del factor integrante, también conocido como método de Lagrange. La fórmula general es:
$$ y = e^{-\int a(x) \, dx} \left[ \int b(x) \cdot e^{\int a(x) \, dx} \, dx + c \right] $$
Sustituyendo los valores de \( a(x) \) y \( b(x) \):
$$ y = e^{-\int 1 \, dx} \left[ \int 0 \cdot e^{\int 1 \, dx} \, dx + c \right] $$
Como la integral del término que contiene \( b(x) \) es nula, resulta:
$$ y = e^{-x} \cdot c $$
o, de forma equivalente,
$$ y = c \cdot e^{-x} $$
que coincide exactamente con la solución obtenida mediante el método de separación de variables.
Este resultado confirma que ambos procedimientos son correctos y, como debe ocurrir, conducen a la misma solución general de la ecuación diferencial.
Y así sucesivamente.
