Ecuación diferencial de variables separables: ejercicio 20

Resolvamos paso a paso la siguiente ecuación diferencial:

$$ y' + 2xy = 0 $$

En primer lugar, observamos que puede escribirse en la forma $ y' = a(x)\,b(y) $, característica de las ecuaciones diferenciales de variables separables. En este caso:

$$ a(x) = -2x, \qquad b(y) = y $$

Por tanto, la ecuación queda:

$$ y' = -2xy $$

Expresamos ahora la derivada como $ \frac{dy}{dx} $:

$$ \frac{dy}{dx} = -2xy $$

Suponiendo $ y \neq 0 $, separamos las variables para reunir todos los términos con $y$ en un miembro y los que dependen de $x$ en el otro:

$$ \frac{1}{y}\,dy = -2x\,dx $$

Integramos ambos miembros de la igualdad:

$$ \int \frac{1}{y}\,dy = \int -2x\,dx $$

También podemos escribir la integral del segundo miembro como:

$$ \int \frac{1}{y}\,dy = -2\int x\,dx $$

Sabemos que una primitiva de $x$ es $ \frac{x^2}{2} $, por lo que obtenemos:

$$ \int \frac{1}{y}\,dy = -2\left(\frac{x^2}{2} + C_1\right) $$

$$ \int \frac{1}{y}\,dy = -x^2 - 2C_1 $$

Como $-2C_1$ sigue siendo una constante arbitraria, podemos sustituirla por una nueva constante, que denotaremos por $C_2$:

$$ \int \frac{1}{y}\,dy = -x^2 + C_2 $$

La primitiva de $1/y$ es $ \ln|y| $, de modo que:

$$ \ln|y| = -x^2 + C_2 $$

Para despejar $y$, aplicamos la función exponencial a ambos miembros:

$$ e^{\ln|y|} = e^{-x^2 + C_2} $$

$$ |y| = e^{-x^2}\cdot e^{C_2} $$

Dado que $e^{C_2}$ es una constante positiva, podemos absorber tanto su valor como el signo de $y$ en una única constante real $C$:

$$ y = C\,e^{-x^2} $$

Esta expresión representa la familia de soluciones no nulas de la ecuación diferencial.

Solución constante: Durante el proceso de separación de variables hemos dividido por $y$, por lo que el caso $y=0$ debe estudiarse por separado. Si $ y \equiv 0 $, entonces $ y' = 0 $, y al sustituir en la ecuación original se obtiene: $$ y' + 2xy = 0 $$ $$ (0) + 2x(0) = 0 $$ $$ 0 = 0 $$ Por consiguiente, $ y \equiv 0 $ también es una solución. De hecho, esta solución queda incluida en la expresión general $ y = C\,e^{-x^2} $ al tomar $ C = 0 $. En consecuencia, la solución general de la ecuación diferencial es: $$ y = C\,e^{-x^2}, \qquad C \in \mathbb{R} $$