Ecuación diferencial. Ejercicio 5
Vamos a resolver la siguiente ecuación diferencial:
$$ y' + x y = 0 $$
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, ya que la derivada de mayor orden que aparece es la primera derivada \( y' \).
Además, es una ecuación diferencial lineal.
Esta ecuación puede resolverse de dos formas equivalentes. A continuación se muestran ambos procedimientos paso a paso.
Método 1. Separación de variables
El primer procedimiento consiste en aplicar el método de separación de variables.
Partimos de la ecuación:
$$ y' + x y = 0 $$
Expresamos la derivada \( y' \) como \( \frac{dy}{dx} \):
$$ \frac{dy}{dx} + x y = 0 $$
Despejamos la derivada:
$$ \frac{dy}{dx} = -x y $$
Ahora separamos las variables \( x \) e \( y \):
$$ \frac{dy}{y} = -x \, dx $$
Integramos ambos miembros:
$$ \int \frac{dy}{y} = \int -x \, dx $$
Al calcular las integrales obtenemos:
$$ \ln|y| = -\frac{x^2}{2} + C $$
Aplicamos la función exponencial a ambos lados para despejar \( y \):
$$ y = e^{-\frac{x^2}{2} + C} $$
Dado que \( e^C \) es una constante positiva, puede absorberse en una nueva constante arbitraria. Por ello, la solución se escribe como:
$$ y = C \, e^{-\frac{x^2}{2}} $$
Esta es la solución general de la ecuación diferencial.
Método 2. Factor integrante
También podemos resolver la ecuación mediante el método del factor integrante, ya que tiene la forma estándar de una ecuación diferencial lineal de primer orden:
$$ y' + a(x)y = b(x) $$
En este caso:
$$ a(x) = x \qquad b(x) = 0 $$
Por tanto, la ecuación queda:
$$ y' + x y = 0 $$
La solución general de una ecuación diferencial lineal de primer orden viene dada por:
$$ y = e^{-\int a(x) \, dx} \left[ \int b(x) \, e^{\int a(x) \, dx} \, dx + C \right] $$
Sustituimos \( a(x) = x \) y \( b(x) = 0 \):
$$ y = e^{-\int x \, dx} \cdot C $$
Como:
$$ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} $$
obtenemos finalmente:
$$ y = C \, e^{-\frac{x^2}{2}} $$
Por tanto, la solución general es:
$$ y = C \, e^{-\frac{x^2}{2}} $$
Como puede comprobarse, ambos métodos conducen exactamente a la misma solución. Esto confirma la validez del resultado obtenido y muestra que cualquiera de los dos procedimientos es adecuado para resolver esta ecuación diferencial.
