Ecuaciones diferenciales básicas

Las ecuaciones diferenciales más simples relacionan una función con su derivada. Su forma general es la siguiente:

$$ f'(x) = g(x) $$

Este tipo de ecuaciones se resuelve directamente mediante integración. Basta con integrar el segundo miembro para obtener la función desconocida:

$$ f(x) = \int g(x)\, dx = F(x) + c $$

donde \( c \) es la constante de integración.

Un ejemplo sencillo

Consideremos la siguiente ecuación diferencial:

$$ f'(x) = 2x $$

Para hallar la función \( f(x) \), integramos ambos miembros respecto de \( x \):

$$ \int f'(x)\, dx = \int 2x\, dx $$

La integral de la derivada devuelve la función original:

$$ f(x) = x^2 + c $$

Esta es la solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo 2

Veamos ahora un ejemplo un poco más elaborado:

$$ f'(x) = 3e^{2x} $$

Integramos nuevamente ambos miembros:

$$ \int f'(x)\, dx = \int 3e^{2x}\, dx $$

Obtenemos así:

$$ f(x) = \int 3e^{2x}\, dx $$

Podemos sacar la constante fuera de la integral:

$$ f(x) = 3 \cdot \int e^{2x}\, dx $$

Sabemos que:

$$ \int e^{2x}\, dx = \frac{1}{2}e^{2x} $$

Por lo tanto:

$$ f(x) = 3 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + c $$

$$ f(x) = \frac{3}{2}e^{2x} + c $$

La solución general es entonces:

$$ f(x) = \frac{3e^{2x}}{2} + c $$

Ejemplo 3

Consideremos ahora una ecuación diferencial de segundo orden:

$$ f''(x) = 2 - \cos x $$

Aunque interviene una derivada segunda, sigue siendo una ecuación básica porque puede resolverse mediante integraciones sucesivas.

Integramos una primera vez:

$$ \int f''(x)\, dx = \int (2 - \cos x)\, dx $$

$$ f'(x) = 2x - \sin x + c_1 $$

Así obtenemos la primera derivada de la solución.

Ahora integramos nuevamente:

$$ \int f'(x)\, dx = \int (2x - \sin x + c_1)\, dx $$

$$ f(x) = x^2 + \cos x + c_1x + c_2 $$

Por consiguiente, la solución general es:

$$ f(x) = x^2 + \cos x + c_1x + c_2 $$

Y así sucesivamente.