Ecuaciones diferenciales de segundo orden: ejercicio 8
Resolvamos paso a paso la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:
$$ y'' - 5y' + 6y = 0 $$
Es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes a=1, b=-5 y c=6.
El primer paso consiste en plantear su ecuación característica, utilizando t como incógnita:
$$ a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 $$
$$ 1 \cdot t^2 +(-5) \cdot t + 6 = 0 $$
$$ t^2 - 5t +6 = 0 $$
Ahora calculamos sus raíces mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado:
$$ t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{25-4(1)(6)}}{2} $$
$$ t = \frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2} $$
$$ t = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} $$
$$ t = \frac{5 \pm 1}{2} $$
$$ t = \begin{pmatrix} \frac{5+1}{2}=3 \\ \\ \frac{5-1}{2}=2 \end{pmatrix} $$
Obtenemos dos raíces reales y distintas: t1=3 y t2=2.
En este caso, la solución general de la ecuación diferencial es una combinación lineal de las funciones exponenciales asociadas a ambas raíces:
$$ y = c_1e^{t_1x} + c_2e^{t_2x} $$
$$ y = c_1e^{3x} + c_2e^{2x} $$
donde c1 y c2 son constantes reales arbitrarias.
Esta expresión recoge todas las soluciones de la ecuación diferencial y completa el ejercicio.
