Ecuaciones diferenciales: ejercicio 17
Vamos a resolver paso a paso la siguiente ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes:
$$ y''+y = x^2 $$
Se trata de una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden. Para obtener su solución general, primero resolveremos la ecuación homogénea asociada y, después, buscaremos una solución particular.
La ecuación homogénea asociada tiene la forma:
$$ ay''+ by' + cy = 0 $$
En este caso, a=1, b=0 y c=1, por lo que resulta:
$$ y''+ y = 0 $$
Para resolverla, planteamos la ecuación característica utilizando la variable auxiliar t:
$$ t^2 + 1 = 0 $$
Calculamos su discriminante:
$$ \Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4(1)(1) = -4 $$
Como el discriminante es negativo, la ecuación característica tiene dos raíces complejas conjugadas:
$$ t = \frac{0 \pm \sqrt{-4}}{2} $$
$$ t = \frac{\pm \sqrt{4i^2}}{2} $$
$$ t = \frac{\pm i \sqrt{4}}{2} $$
$$ t = \frac{\pm i \cdot 2}{2} = \begin{cases} 0 + i \\ \\ 0-i \end{cases} $$
Por tanto, α=0 y β=1.
Cuando las raíces características son de la forma α±βi, la solución general de la ecuación homogénea puede escribirse en forma real como:
$$ y_o = c_1 e^{ \alpha x} \cos(\beta x) +c_2e^{\alpha x} \sin{\beta x} $$
Sustituyendo α=0 y β=1, obtenemos:
$$ y_o = c_1 \cos(x) +c_2 \sin{x} $$
Ya tenemos resuelta la parte homogénea. El siguiente paso consiste en encontrar una solución particular yp de la ecuación diferencial no homogénea.
Para ello aplicamos el método de los coeficientes indeterminados:
$$ ay''+by'+cy = f(x) $$
En nuestro caso, f(x)=x^2, con a=1, b=0 y c=1.
Como el término no homogéneo es un polinomio de segundo grado, P2(x)=x2, proponemos como solución particular otro polinomio de segundo grado:
$$ y_p = B x^2 + Ax + C $$
Calculamos la primera y la segunda derivada:
$$ y_p' = A + 2Bx \qquad y_p'' = 2B $$
A continuación, sustituimos estas expresiones en la ecuación diferencial original:
$$ 2B + (Ax+Bx^2+C) = x^2 $$
Para identificar los coeficientes con mayor facilidad, agrupamos los términos según las potencias de x:
$$ x^2(B) + x(A) + (2B+C) = x^2 $$
Ahora igualamos los coeficientes de las mismas potencias de x en ambos miembros. De este modo obtenemos A=0, B=1 y 2B+C=0:
$$ \begin{cases} A = 0 \\ \\ B = 1 \\ \\ 2B+C = 0 \end{cases} $$
Explicación. El coeficiente de x debe ser igual a cero, de donde se obtiene A=0. El coeficiente de x2 debe ser igual a 1, por lo que B=1. Finalmente, al comparar los términos independientes, obtenemos 2B+C=0.
Al resolver el sistema, resulta:
$$ A = 0, \; B = 1, \; C = -2 $$
Por tanto, una solución particular de la ecuación es:
$$ y_p = x^2 -2 $$
Solo queda reunir los dos resultados. La solución general de la ecuación diferencial no homogénea se obtiene sumando la solución general de la ecuación homogénea asociada y la solución particular:
$$ y = y_o + y_p = c_1 \cos(x) +c_2 \sin{x} + x^2 - 2 $$
Método alternativo
Este mismo problema también puede resolverse mediante el método de variación de parámetros, en el que interviene el wronskiano. Para aplicarlo, partimos de la solución general de la ecuación homogénea:
$$ y_o = c_
