Ecuaciones diferenciales: ejercicio 30

Vamos a resolver el siguiente problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria de primer orden:

$$ \begin{cases} y'=y^2 \cdot t^3 \\ \\ y(0)=0 \end{cases} $$

Estamos ante un problema de Cauchy, también conocido como problema de valor inicial.

La ecuación es de variables separables, así que podemos intentar resolverla mediante el método de separación de variables.

Comenzamos expresando la derivada y' con la notación de Leibniz:

$$ \frac{dy}{dt} = y^2 \cdot t^3 $$

Si suponemos que $y \neq 0$, podemos dividir ambos miembros entre $y^2$ y separar las variables:

$$ \frac{dy}{y^2} = t^3 \, dt $$

Ahora integramos ambos miembros con respecto a las variables correspondientes:

$$ \int \frac{dy}{y^2} = \int t^3 \, dt $$

$$ - \frac{1}{y} + c_1 = \frac{1}{4} t^4 + c_2 $$

Podemos reunir las dos constantes de integración en una sola: $c = c_2 - c_1$

$$ - \frac{1}{y} = \frac{1}{4} t^4 + c $$

Despejamos $y$ paso a paso:

$$ -4 = y(t^4+4c) $$

$$ y = \frac{-4}{t^4+4c} $$

Si redefinimos la constante $4c$ como $c$, obtenemos:

$$ y = \frac{-4}{t^4 + c} $$

El siguiente paso consiste en determinar la constante a partir de la condición inicial y(0)=0. Para ello, sustituimos t=0:

$$ y(0)=0 $$

$$ \frac{-4}{0 + c} = 0 $$

$$ \frac{-4}{c} = 0 $$

Esta igualdad es imposible. Por tanto, ninguna de las soluciones no nulas que hemos obtenido mediante la separación de variables puede satisfacer la condición inicial.

Sin embargo, esto no significa que el problema de Cauchy no tenga solución. La clave está en un paso anterior: para separar las variables hemos dividido entre $y^2$, lo que nos ha obligado a suponer que $y \neq 0$. Como consecuencia, la posible solución $y=0$ ha quedado excluida del procedimiento y debemos analizarla por separado.

En efecto, la función $f(t,y)=y^2t^3$ es continua y su derivada parcial con respecto a $y$, $\frac{\partial f}{\partial y}=2yt^3$, también es continua. Por tanto, el problema de Cauchy admite una única solución local. En particular, el teorema de existencia garantiza la existencia local de una solución, mientras que la condición de unicidad permite concluir que la solución que pasa por el punto $(0,0)$ es precisamente la solución trivial.

Así pues, la única solución del problema de valor inicial es:

$$ y(t) = 0 $$

Nota. Podemos comprobar directamente que $y(t)=0$ satisface tanto la condición inicial como la ecuación diferencial. En primer lugar: $$ y(0)= 0 $$ A continuación, sustituimos $y=0$ en la ecuación: $$ y'=y^2 \cdot t^3 $$ $$ y'=0^2 \cdot t^3 $$ $$ y'=0 $$ Por otra parte, como $y(t)=0$ es una función constante, su derivada también es cero: $$ y'=0 $$ Por tanto, obtenemos la identidad $$ 0=0 $$ y comprobamos que $y(t)=0$ es, efectivamente, una solución del problema de Cauchy.

Además, como la solución $y(t)=0$ está definida para todo $t \in \mathbb{R}$, su intervalo maximal de existencia es toda la recta real:

$$ I=\mathbb{R} $$

Y eso es todo.