Ecuaciones diferenciales: ejercicio 31
Vamos a resolver una ecuación diferencial ordinaria de primer orden con una condición inicial:
$$ \begin{cases} y'= \frac{-t}{y} \\ \\ y(0)=5 \end{cases} $$
Este tipo de ejercicio es un problema de Cauchy, también conocido como problema de valor inicial.
La ecuación es de variables separables. En efecto, puede escribirse en la forma \( y' + a(t)b(y)=0 \), con \( a(t)=t \) y \( b(y)=1/y \). Por tanto, puede resolverse mediante el método de separación de variables.
Escribimos primero la derivada en notación de Leibniz:
$$ \frac{dy}{dt} = \frac{-t}{y} $$
Ahora separamos las variables, colocando los términos con \( y \) en un miembro y los términos con \( t \) en el otro:
$$ y \, dy = -t \, dt $$
Integramos ambos miembros:
$$ \int y \, dy = \int -t \, dt $$
$$ \int y \, dy = - \int t \, dt $$
$$ \frac{y^2}{2} + C_1 = -\frac{t^2}{2} + C_2 $$
Multiplicamos ambos miembros por 2:
$$ y^2 + 2C_1 = -t^2 + 2C_2 $$
Agrupamos las constantes en una sola constante \( C = 2C_2 - 2C_1 \):
$$ y^2 = -t^2 + C $$
Despejamos \( y \):
$$ y = \pm \sqrt{C - t^2} $$
Para elegir la rama correcta, aplicamos la condición inicial \( y(0)=5 \):
$$ 5 = \pm \sqrt{C} $$
Como la condición inicial exige que la solución sea positiva en \( t=0 \), elegimos la rama positiva:
$$ 5 = \sqrt{C} $$
$$ C = 25 $$
Por tanto, la solución particular del problema de Cauchy es:
$$ y(t) = \sqrt{25 - t^2} $$
Comprobación. Derivamos la solución obtenida: $$ y'(t) = \frac{d}{dt}\left(\sqrt{25-t^2}\right) $$ $$ y'(t) = \frac{1}{2\sqrt{25-t^2}}(-2t) $$ $$ y'(t) = \frac{-t}{\sqrt{25-t^2}} $$ Como \( y(t)=\sqrt{25-t^2} \), resulta: $$ y'(t) = \frac{-t}{y(t)} $$ Por tanto, la función satisface la ecuación diferencial original.
Análisis cualitativo de la solución
La fórmula \( y(t)=\sqrt{25-t^2} \) solo tiene sentido real cuando el radicando es no negativo:
$$ 25 - t^2 \geq 0 $$
De esta desigualdad se obtiene:
$$ -5 \leq t \leq 5 $$
A primera vista, podría parecer que el intervalo de existencia es \( [-5,5] \). Sin embargo, en una ecuación diferencial no basta con mirar el dominio de la fórmula explícita de la solución. También hay que comprobar dónde está definido el segundo miembro de la ecuación.
En este caso, la ecuación contiene el término \( -t/y \), que solo está definido cuando \( y \neq 0 \).
La solución alcanza el valor \( y=0 \) en los extremos \( t=-5 \) y \( t=5 \). Justo en esos puntos, el segundo miembro de la ecuación diferencial deja de estar definido.
Por esta razón, el intervalo máximo de existencia de la solución que satisface \( y(0)=5 \) es:
$$ (-5,5) $$
Si tomamos como instante inicial \( t_0=0 \), la solución puede prolongarse hasta \( t=5 \) hacia adelante y hasta \( t=-5 \) hacia atrás. Por tanto, su tiempo de vida hacia adelante es 5 y su tiempo de vida hacia atrás también es 5.
Nota. El segundo miembro de la ecuación diferencial es \( -t/y \), una expresión que no está definida cuando \( y=0 \): $$ y' = \frac{-t}{y} $$ Si \( y=0 \), entonces: $$ y' = \frac{-t}{0} $$ lo cual no tiene significado matemático. Además, la solución cumple: $$ y(\pm 5)=\sqrt{25-25}=0 $$ Por consiguiente, la trayectoria alcanza un punto en el que la ecuación diferencial ya no está definida. Se dice entonces que la solución presenta una salida del dominio de definición en \( t=5 \) y también en \( t=-5 \).
La solución también es una función par, ya que:
$$ y(-t)=\sqrt{25-(-t)^2} =\sqrt{25-t^2} =y(t) $$
Por tanto, su gráfica es simétrica respecto del eje \( t=0 \), y la misma pérdida de validez aparece en ambos extremos del intervalo de existencia.
Y así sucesivamente.
