Ecuaciones diferenciales - Ejercicio 5

Consideremos la siguiente ecuación diferencial:

$$ xy'' = 1 $$

Estamos ante una ecuación diferencial de segundo orden, ya que la derivada de mayor orden que aparece en ella es la segunda derivada $y''$.

El primer paso consiste en despejar $y''$:

$$ y'' = \frac{1}{x} $$

Esta expresión está definida para $x \neq 0$ y constituye un ejemplo sencillo de ecuación diferencial elemental de segundo orden.

Para hallar la solución general, debemos integrar dos veces.

Comenzamos integrando ambos miembros de la ecuación:

$$ \int y'' \, dx = \int \frac{1}{x} \, dx $$

Como la integral de $\frac{1}{x}$ es $\ln|x|$, obtenemos:

$$ y' = \ln|x| + c_1 $$

donde $c_1$ es una constante de integración.

Ahora integramos una segunda vez:

$$ \int y' \, dx = \int \big(\ln|x| + c_1\big) \, dx $$

La integral de $\ln|x|$ es $x\ln|x| - x$, mientras que la integral de $c_1$ es $c_1x$. Por tanto:

$$ y = x\ln|x| - x + c_1x + c_2 $$

donde $c_2$ es una segunda constante de integración.

Así obtenemos la solución general de la ecuación diferencial:

$$ y = x\ln|x| - x + c_1x + c_2 $$

Esta solución es válida en cualquier intervalo que no contenga $x=0$, punto en el que la ecuación diferencial no está definida.

Y así sucesivamente.