Ecuaciones diferenciales - Ejercicio 6
Vamos a resolver paso a paso la siguiente ecuación diferencial:
$$ y'' - y = 0 $$
Se trata de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes a=1, b=0, c=-1.
Para encontrar su solución, planteamos la ecuación característica introduciendo la variable auxiliar t:
$$ a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 $$
Sustituimos los valores a=1, b=0, c=-1:
$$ t^2 - 1 = 0 $$
A continuación, resolvemos la ecuación característica paso a paso:
$$ t^2 = 1 $$
$$ t = \pm 1 $$
Por tanto, obtenemos dos raíces reales distintas: t1 = 1 y t2 = -1.
Cuando la ecuación característica tiene dos raíces reales distintas, la solución general de la ecuación diferencial tiene la forma:
$$ y = c_1 \cdot e^{t_1 x} + c_2 \cdot e^{t_2 x} $$
Sustituimos ahora las raíces obtenidas:
$$ y = c_1 \cdot e^{x} + c_2 \cdot e^{-x} $$
Por tanto, esta es la solución general de la ecuación diferencial, donde c1 y c2 son constantes reales arbitrarias.
Y así sucesivamente.
