Ecuaciones diferenciales - Ejercicio 7

Consideremos la siguiente ecuación diferencial:

$$ y'' - y' - 6y = 0 $$

Es una ecuación diferencial de segundo orden, ya que la derivada de mayor orden de la función incógnita $y$ es $y''$.

Además, se trata de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes $a = 1$, $b = -1$ y $c = -6$.

Para resolverla, comenzamos planteando la ecuación característica asociada. Si utilizamos $t$ como variable auxiliar, obtenemos:

$$ a t^2 + b t + c = 0 $$

Al sustituir $a = 1$, $b = -1$ y $c = -6$, resulta:

$$ t^2 - t - 6 = 0 $$

Nota. En este caso hemos elegido $t$ como variable auxiliar, aunque podría utilizarse cualquier otro símbolo, como $z$ o $u$, sin que ello afectara al procedimiento. Esta variable se introduce únicamente para resolver la ecuación característica.

Resolvemos ahora la ecuación de segundo grado mediante la fórmula general:

$$ t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-6)}}{2} $$

Calculamos el discriminante:

$$ t = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} $$

y simplificamos:

$$ t = \frac{1 \pm 5}{2} $$

De este modo obtenemos las dos soluciones:

$$ t = \begin{cases} \tfrac{1+5}{2}=3 \\[6pt] \tfrac{1-5}{2}=-2 \end{cases} $$

Por tanto, las raíces de la ecuación característica son $t_1 = 3$ y $t_2 = -2$.

Como se trata de dos raíces reales y distintas ($t_1 \ne t_2$), la solución general de la ecuación diferencial viene dada por:

$$ y = c_1 e^{t_1 x} + c_2 e^{t_2 x} $$

Finalmente, sustituimos $t_1 = 3$ y $t_2 = -2$:

$$ y = c_1 e^{3x} + c_2 e^{-2x} $$

donde $c_1$ y $c_2$ son constantes reales arbitrarias.

Y así sucesivamente.