Ecuaciones diferenciales: ejercicio resuelto 29
Vamos a resolver paso a paso el siguiente problema de valor inicial para una ecuación diferencial de primer orden:
$$ \begin{cases} y'=y^2 \cdot x^3 \\ \\ y(0)=7 \end{cases} $$
Estamos ante un problema de Cauchy asociado a una ecuación diferencial de variables separables. La ecuación tiene la forma y’ = f(x)g(y), donde f(x) = x^3 y g(y) = y^2. Esto nos permite separar las variables y resolver la ecuación mediante integración.
En primer lugar, escribimos la ecuación en notación de Leibniz:
$$ \frac{dy}{dx}=y^2 \cdot x^3 $$
Ahora separamos las variables, de manera que los términos que contienen y queden en un miembro y los que dependen de x, en el otro:
$$ \frac{dy}{y^2}=x^3 \ dx $$
Una vez separadas las variables, integramos ambos miembros:
$$ \int \frac{1}{y^2} \, dy = \int x^3 \, dx $$
Calculamos las dos integrales:
$$ -\frac{1}{y} + c_1 = \frac{1}{4} x^4 + c_2 $$
Podemos agrupar las dos constantes de integración en una sola constante, c = c2 - c1. De este modo, la expresión se simplifica:
$$ -\frac{1}{y} = \frac{1}{4} x^4 + c $$
El siguiente paso consiste en despejar y:
$$ y = \frac{-1}{\tfrac{1}{4} x^4 + c} $$
Multiplicamos numerador y denominador por 4:
$$ y = \frac{-1}{\tfrac{x^4 + 4c}{4}} $$
$$ y = \frac{-4}{x^4 + 4c} $$
Como 4c sigue siendo una constante arbitraria, podemos representarla nuevamente mediante c. Así obtenemos la solución general de la ecuación diferencial:
$$ y = \frac{-4}{x^4 + c} $$
Para hallar la solución particular del problema de Cauchy, utilizamos ahora la condición inicial y(0) = 7:
$$ 7 = \frac{-4}{0^4 + c} $$
$$ 7 = \frac{-4}{c} $$
Despejamos la constante c:
$$ c = \frac{-4}{7} $$
Una vez determinado su valor, lo sustituimos en la solución general:
$$ y = \frac{-4}{x^4 + c} $$
$$ y = \frac{-4}{x^4 - \tfrac{4}{7}} $$
Reducimos el denominador a una sola fracción:
$$ y = \frac{-4}{\tfrac{7x^4 - 4}{7}} $$
Finalmente, simplificamos:
$$ y = \frac{-28}{7x^4 - 4} $$
Por tanto, la solución del problema de Cauchy, es decir, la solución de la ecuación diferencial que satisface la condición inicial dada, es:
$$ y = \frac{-28}{7x^4 - 4} $$
De este modo, hemos resuelto el problema separando las variables, integrando ambos miembros y utilizando la condición inicial para determinar la constante de integración.
