Ejercicio 10: ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden
Consideremos la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:
$$ y'' - 2y' + y = 0 $$
Es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes a=1, b=-2 y c=1.
Para resolverla, planteamos primero la ecuación característica. Introducimos una variable auxiliar t y sustituimos los coeficientes de la ecuación diferencial:
$$ a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 $$
$$ 1 \cdot t^2 +(-2) \cdot t + 1 = 0 $$
$$ t^2 -2t +1 = 0 $$
A continuación, resolvemos esta ecuación de segundo grado:
$$ t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{4-4(1)(1)}}{2} $$
$$ t = \frac{2 \pm \sqrt{4-4}}{2} $$
$$ t = \frac{2 \pm \sqrt{0}}{2} $$
$$ t = \begin{cases} \frac{2+0}{2}=1 \\ \\ \frac{2-0}{2}=1 \end{cases} $$
La ecuación característica tiene, por tanto, una raíz real doble: t1=1 y t2=1.
Cuando aparece una raíz real doble, la solución general de la ecuación diferencial se escribe de la siguiente forma:
$$ y = c_1e^{t_1x} + x \cdot c_2e^{t_1x} $$
Sustituyendo t1=1, obtenemos:
$$ y = c_1e^{x} + x \cdot c_2e^{x} $$
donde c1 y c2 son constantes reales arbitrarias.
Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:
$$ y = c_1e^{x} + x \cdot c_2e^{x} $$
