Ejercicio 11 de ecuaciones diferenciales
Resolvamos la siguiente ecuación diferencial:
$$ 3y^2 \cdot y' + x = 0 $$
Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, ya que la derivada de mayor orden que aparece es la primera derivada, \( y' \).
Además, no es una ecuación lineal, porque la función incógnita está elevada al cuadrado, \( y^2 \).
Para resolverla, basta con transformarla en una ecuación diferencial de variables separables.
Comenzamos dividiendo ambos miembros entre \( 3y^2 \) para aislar la derivada \( y' \):
$$ \frac{3y^2 \cdot y'}{3y^2} + \frac{x}{3y^2} = \frac{0}{3y^2} $$
$$ y' + \frac{x}{3y^2} = 0 $$
La ecuación queda escrita en la forma y' + a(x)·g(y) = 0, donde \( a(x)=x/3 \) y \( g(y)=1/y^2 \).
Esta es precisamente la estructura que permite aplicar el método de separación de variables.
Reescribimos primero la derivada utilizando la notación dy/dx:
$$ \frac{dy}{dx} + \frac{x}{3y^2} = 0 $$
Ahora separamos las variables, agrupando todos los términos con \( y \) en un miembro y los que contienen \( x \) en el otro:
$$ \frac{dy}{dx} = - \frac{x}{3y^2} $$
$$ y^2 \cdot dy = - \frac{x}{3} \cdot dx $$
Una vez separadas las variables, integramos ambos miembros:
$$ \int y^2 \, dy = \int - \frac{x}{3} \, dx $$
$$ \int y^2 \, dy = - \int \frac{x}{3} \, dx $$
La integral del segundo miembro es \( x^2/6 + c \), donde \( c \) representa la constante de integración:
$$ \int y^2 \, dy = - \left( \frac{x^2}{6} + c \right) $$
$$ \int y^2 \, dy = - \frac{x^2}{6} - c $$
Como \( c \) es una constante arbitraria, sustituir \(-c\) por \(+c\) no cambia el conjunto de soluciones. Por ello, podemos escribir simplemente:
$$ \int y^2 \, dy = - \frac{x^2}{6} + c $$
La integral del primer miembro es:
$$ \frac{y^3}{3} = - \frac{x^2}{6} + c $$
No es necesario introducir una nueva constante de integración, ya que la constante \( c \) engloba cualquier constante arbitraria.
Multiplicamos ahora ambos miembros por 3 para eliminar el denominador:
$$ \frac{y^3}{3} \cdot 3 = \left( - \frac{x^2}{6} + c \right) \cdot 3 $$
$$ y^3 = - \frac{x^2}{6} \cdot 3 + c \cdot 3 $$
$$ y^3 = - \frac{x^2}{2} + 3c $$
Dado que \( 3c \) sigue siendo una constante arbitraria, podemos volver a representarla con la misma letra \( c \):
$$ y^3 = - \frac{x^2}{2} + c $$
Por último, aplicamos la raíz cúbica a ambos miembros para despejar la incógnita:
$$ \sqrt[3]{y^3} = \sqrt[3]{ - \frac{x^2}{2} + c } $$
De este modo, obtenemos la solución general de la ecuación diferencial:
$$ y = \sqrt[3]{ - \frac{x^2}{2} + c } $$
Con esto hemos completado la resolución de la ecuación diferencial.
