Ecuación diferencial de segundo orden con raíces complejas: ejercicio resuelto
Vamos a resolver paso a paso la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:
$$ y'' - 2y' + 2y = 0 $$
Se trata de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. En este caso, a=1, b=-2 y c=2.
Para resolverla, comenzamos planteando la ecuación característica mediante la variable auxiliar t:
$$ a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 $$
Sustituimos los coeficientes de nuestra ecuación:
$$ 1 \cdot t^2 + (-2) \cdot t + 2 = 0 $$
$$ t^2 - 2t + 2 = 0 $$
Ahora resolvemos esta ecuación de segundo grado:
$$ t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{4 - 4(1)(2)}}{2} $$
$$ t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} $$
$$ t = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} $$
El discriminante es negativo, por lo que las raíces de la ecuación característica pertenecen al conjunto de los números complejos.
Recordemos que la unidad imaginaria i se define mediante la relación i2 = -1. Podemos utilizar esta propiedad para transformar la raíz cuadrada de un número negativo:
$$ t = \frac{2 \pm \sqrt{-1 \cdot 4}}{2} $$
$$ t = \frac{2 \pm \sqrt{i^2 \cdot 4}}{2} $$
$$ t = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2} $$
Como \(\sqrt{4}=2\), simplificamos la expresión:
$$ t = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2} $$
$$ t = \begin{cases} \frac{2+2i}{2} = 1+i \\ \\ \frac{2-2i}{2} = 1-i \end{cases} $$
Por tanto, la ecuación característica tiene dos raíces complejas conjugadas:
$$ t_1 = 1+i \qquad t_2 = 1-i $$
Cuando las raíces de la ecuación característica forman un par complejo conjugado de la forma t1 = α + iβ y t2 = α - iβ, la solución general real de la ecuación diferencial se escribe como:
$$ y = c_1 e^{\alpha x } \cos (\beta x) + c_2 e^{ \alpha x} \sin (\beta x) $$
En nuestro caso, α=1 y β=1, ya que las raíces son t1 = 1+i y t2 = 1-i.
Sustituimos estos valores en la expresión de la solución general:
$$ y = c_1 e^{1 \cdot x } \cos (1 \cdot x) + c_2 e^{ 1 \cdot x} \sin (1 \cdot x) $$
Finalmente, simplificamos:
$$ y = c_1 e^{x} \cos (x) + c_2 e^{x} \sin (x) $$
Esta es la solución general real de la ecuación diferencial, donde c1 y c2 son constantes reales arbitrarias.
El resultado muestra que las soluciones combinan un factor exponencial, \(e^x\), con las funciones trigonométricas \(\cos(x)\) y \(\sin(x)\), una forma característica de las ecuaciones diferenciales lineales cuyas raíces características son complejas conjugadas.
